IB 數學（HL）/三角學

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主題 3：圓函式和三角學討論了基於圓的函式，三角函式是如何推匯出來的，以及各種三角恆等式和規則。

3.1 圓和弧度制

部分內容：圓：角的弧度制；弧長；扇形面積

1 弧度定義為圓心角所對的圓弧長度等於圓半徑時的角。180° = π 弧度。
半徑為 r 的圓中，圓心角為 θ 弧度所對的弧長為 l，則定義為： $\theta ={\frac {l}{r}}$ .
弧長 l 可以用以下公式計算： $l=\theta r$ ，其中 θ 以弧度為單位或 $l={\frac {\theta }{360}}(2\pi r)$ ，其中 θ 以度為單位。這些公式源於圓周長的公式。(前一個公式包含在公式手冊中)
扇形面積可以用以下公式計算： $A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}$ ，其中 θ 以弧度為單位或 $A={\frac {\theta }{360}}(\pi r^{2})$ ，其中 θ 以度為單位。(前一個公式包含在公式手冊中)

3.2 三角函式作為圓函式

部分內容：用單位圓定義 cos θ、sin θ 和 tan θ；0、π/6、π/4、π/3、π/2 及其倍數的 sin、cos 和 tan 的精確值；定義 sec θ、csc θ 和 cot θ 的倒數三角函式；畢達哥拉斯恆等式

考慮一個單位圓（半徑為 1 的圓）在一個座標平面上，圓心在原點 O(0, 0)，圓周上有一點 P(x, y)。角 θ 是 OP 與正 x 軸之間的夾角，角 α 是 OP 與 x 軸之間的夾角（正或負）。OP = 1 個單位。

在第一象限 (0 < θ < π/2) 中： $\sin {\theta }={\frac {y}{OP}}=y$ ， $\cos {\theta }={\frac {x}{OP}}=x$ ，以及 $\tan {\theta }={\frac {y}{x}}$ 。所有比率均為正數。
在第二象限 (π/2 < θ < π) 中： $\sin {\theta }=\sin {(\pi -\alpha )}={\frac {y}{1}}=y=\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(\pi -\alpha )}={\frac {-x}{1}}=-x=-\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(\pi -\alpha )}={\frac {y}{-x}}=-{\frac {y}{x}}=-\tan {\alpha }$ 。只有正弦比率為正數。
在第三象限（π < θ < 3π/2）： $\sin {\theta }=\sin {(\pi +\alpha )}={\frac {-y}{1}}=-y=-\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(\pi +\alpha )}={\frac {-x}{1}}=-x=-\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(\pi +\alpha )}={\frac {-y}{-x}}={\frac {y}{x}}=\tan {\alpha }$ 。只有正切比是正數。
在第四象限（3π/2 < θ < 2π）： $\sin {\theta }=\sin {(2\pi -\alpha )}={\frac {-y}{1}}=-y=-\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(2\pi -\alpha )}={\frac {x}{1}}=x=\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(2\pi -\alpha )}={\frac {-y}{x}}=-{\frac {y}{x}}=-\tan {\alpha }$ 。只有餘弦比是正數。

提示：這些關係在公式手冊中找不到。但是，您可以使用 ASTC（全部、正弦、正切、餘弦）來建立一個短語，使這種與象限的關係更容易記憶；例如：“Add sugar to coffee”。

一條透過原點 O(0, 0) 的直線方程為 $y=\tan {\theta }$ 。

銳角的精確值總結在下表中。試卷 1 使用此知識，您也可能會被要求在試卷 2 中使用它。

$\theta$	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$
$\sin {\theta }$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$\cos {\theta }$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$\tan {\theta }$	$0$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\infty$

提示： 正弦和餘弦比率的精確值互為倒數，因此您只需記住一組值。同樣，tan θ 只是 (sin θ)/(cos θ)。

大於 π/2 弧度的角度的精確值可以透過使用上面的象限關係來推導。

倒數三角函式為

$\sec {\theta }={\frac {1}{\cos {\theta }}}$
$\csc {\theta }={\frac {1}{\sin {\theta }}}$
$\cot {\theta }={\frac {1}{\tan {\theta }}}$

公式手冊中包含了前兩個。

畢達哥拉斯恆等式為

$\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }=1$
$1+\tan ^{2}{\theta }=\sec ^{2}{\theta }$
$1+\cot ^{2}{\theta }=\csc ^{2}{\theta }$

所有這三個都包含在公式手冊中。

3.3 複合角和二倍角恆等式

章節內容： 複合角恆等式；二倍角恆等式

複合角恆等式用單獨角度的比率表示兩個角度之和的三角比率。這些是

$\sin {(A\pm B)}=\sin {A}\cos {B}\pm \cos {A}\sin {B}$
$\cos {(A\pm B)}=\cos {A}\cos {B}\mp \sin {A}\sin {B}$ (注意項與項之間的符號與原函式相反)
$\tan {(A\pm B)}={\frac {\tan {A}\pm \tan {B}}{1\mp \tan {A}\tan {B}}}$

這些公式的證明已被明確排除在教學大綱之外。

雙角恆等式可以從複合角恆等式推匯出。

恆等式	證明
$\sin {2\theta }=2\sin {\theta }\cos {\theta }$	$\sin {(A+B)}=\sin {A}\cos {B}+\cos {A}\sin {B}$ $\sin {(\theta +\theta )}=\sin {\theta }\cos {\theta }+\cos {\theta }\sin {\theta }$ $\therefore \sin {2\theta }=2\sin {\theta }\cos {\theta }$
$\cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-\sin ^{2}{\theta }$ $\cos {2\theta }=2\cos ^{2}{\theta }-1$ $\cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$	$\cos {(A+B)}=\cos {A}\cos {B}-\sin {A}\sin {B}$ $\cos {(\theta +\theta )}=\cos {\theta }\cos {\theta }-\sin {\theta }\sin {\theta }$ $\therefore \cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-\sin ^{2}{\theta }$ 如果我們應用 $\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }=1$ ，我們可以得到另外兩個等價表示式 $\cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-(1-\cos ^{2}{\theta })$ $\therefore \cos {2\theta }=2\cos ^{2}{\theta }-1$ ...以及... $\cos {2\theta }=(1-\sin ^{2}{\theta })-\sin ^{2}{\theta }$ $\therefore \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$
$\therefore \tan {(2\theta )}={\frac {2\tan {\theta }}{1-\tan ^{2}{\theta }}}$	$\tan {(A+B)}={\frac {\tan {A}+\tan {B}}{1-\tan {A}\tan {B}}}$ $\tan {(\theta +\theta )}={\frac {\tan {\theta }+\tan {\theta }}{1-\tan {\theta }\tan {\theta }}}$ $\therefore \tan {(2\theta )}={\frac {2\tan {\theta }}{1-\tan ^{2}{\theta }}}$

本節中的所有恆等式都包含在公式手冊中。

3.4 複合三角函式

章節內容: 形如 f(x) = a sin(b(x + c)) + d 的複合函式
回顧: 2.3 - 影像變換: 平移; 伸縮; 關於軸的反射

考慮一個複合三角函式 f，其中 $f(x)=a\sin {(b(x+c))}+d$

|a| 是振幅，最大值和最小值之間垂直距離的一半。當 a 為負數時，影像也關於 y = d 反射。
b 是波在正常週期（正切函式為 π 弧度，正弦和餘弦函式為 2π 弧度）內的週期數。因此，新週期是正常週期除以 b，即在本例中週期 = 2π/b。
c 是相位移，或水平位移（向左或向右）。當 c 為正數時，影像向左移動；當 c 為負數時，影像向右移動。
d 是垂直位移（向上或向下）。當 d 為正數時，影像向上移動；當 d 為負數時，影像向下移動。

提示: 相位移 c 有時會與 bc 混淆，因為人們普遍認為 b = 1。考試問題可能會透過擴充套件三角函式中的表示式來迷惑你。例如 $f(x)=\sin {(2x+8)}$ ，c 不是 8，而是 8 除以 2，即 4。

3.5 反三角函式

章節內容: 反函式 arcsin x, arccos x, arctan x；它們的值域和定義域；它們的影像
回顧: 2.1 - 反函式，包括值域限制；2.3 - 反函式的影像關於 y = x 對稱

反三角函式（arcsin x，arccos x 和 arctan x）根據三角比（分別為 sin θ，cos θ 和 tan θ）求解角度；它實際上是標準三角函式的逆運算。
從主題 2.1 中你應該已經知道，反函式只存在於一對一函式，而不存在於多對一函式，因此從技術上講，三角函式的逆函式不是函式。然而，可以限制 f(x) 的定義域，使其成為一對一函式，從而具有反函式。
$f(x)$ 的定義域是 $f^{-1}(x)$ 的值域， $f(x)$ 的值域是 $f^{-1}(x)$ 的定義域。因此 arcsin x 和 arccos x 的定義域是 -1 ≤ x ≤ 1，而 arctan x 的定義域是 x：x 對所有實數都存在。
備選符號（尤其是在計算器上；在本指南中也會使用）： $\arcsin {x}=\sin ^{-1}{x};\arccos {x}=\cos ^{-1}{x};\arctan {x}=\tan ^{-1}{x}$
反函式的影像可以透過先將定義域限制在 -π/2 ≤ x ≤ π/2，然後將影像在 y = x 上反射來獲得。
你應該知道 arctan 函式之和的恆等式
以及 arcsin(x) + arccos(x) = π/2

3.6 三角方程的解

章節內容： 在有限區間內解三角方程的代數和圖形方法，包括三角恆等式的使用和因式分解
回顧： 2.6 - 圖形和代數方法解多項式方程；使用技術解各種方程，包括沒有適當解析方法的方程

三角方程可以透過代數和圖形方法求解。要代數求解此類方程

關鍵思想是將所有三角比簡化為同一個基本三角比：正弦或餘弦（如果代數強制為 sin θ/cos θ，也可以是正切）。使用三角恆等式來幫助你做到這一點。如果無法做到這一點，則使用圖形方法求解可能會更容易。
通常這將簡化為一個線性方程。但是，它也可以簡化為一個多項式，其中 x 被替換為一個三角函式。在這種情況下，就像處理標準多項式方程一樣求解，例如透過因式分解、二次公式或二項式定理。你也可以使用圖形計算器來求解手動難以求解的方程。
簡化為 sin θ = x 的形式後，檢查定義域 - 他們希望你的答案在什麼範圍之間？使用 3.2 中的象限關係來幫助你求解該定義域內的方程。例如，如果定義域是 π/2 ≤ θ ≤ 3π/2，那麼你的解將是 $\theta =\pi -\sin ^{-1}{x},\pi +\sin ^{-1}{x}$ 。

要圖形求解，將方程的左側作為一張圖，將方程的右側作為另一張圖，繪製在同一座標系中。確保你的圖形計算器處於正確的角度模式（度或弧度） - 除非試卷中說明，否則預設為弧度。交點將是方程的解。

3.7 正弦定理和餘弦定理

章節內容： 餘弦定理；正弦定理，包括二義性情況；三角形的面積為 1/2 ab sin C

正弦定理和餘弦定理將任意三角形中的邊和角聯絡起來。

考慮一個三角形 ABC，其中 a = BC，b = AC 和 c = AB。

如果你知道兩邊 a 和 b 的長度以及這兩邊之間的角 C（夾角），那麼你可以使用餘弦定理來計算剩餘邊 c 的長度： $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$ 。該定理的一個特例是直角三角形的勾股定理，其中 C = π/2 弧度或 90 度，那麼 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。
如果已知三角形三條邊長 a、b 和 c，則可以使用餘弦定理計算三角形內任意角。對於角 C，公式為： $\cos {C}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$ .
如果已知兩個角 A 和 B 以及不在這兩個角之間的邊長（a 或 b），則可以使用正弦定理計算其中一條邊的長度： ${\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}$ .
如果已知兩條邊長 a 和 b 以及不在這兩條邊之間的角 A 或 B，則稱為“二義性情況”，因為正弦定理： ${\frac {\sin {A}}{a}}={\frac {\sin {B}}{b}}={\frac {\sin {C}}{c}}$ 將得到兩個可能的缺失角大小： $A=\sin ^{-1}{\frac {a\sin {B}}{b}},\pi -\sin ^{-1}{\frac {a\sin {B}}{b}}$ 。在這種情況下，需要根據題目給出的資訊確定哪一個角是不可能的。

已知兩條邊長 a 和 b 以及夾角 C，則三角形面積為： $Area={\frac {1}{2}}ab\sin {C}$

這些規則在公式手冊中給出。