IB 數學 (HL)/函式

主題 2：核心 - 函式與方程

二次函式圖的對稱軸

$f(x)=a(x-p)^{2}+q$

對稱軸是 $x=p$

例如 $y=2(x+3)^{2}+4$

該圖的對稱軸是 $x=-3$

求解二次方程

二次方程的形式為 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 或 $a(x-p)^{2}+q$。要解方程，必須將它們因式分解或使用二次公式求解：${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

例如 $y=x^{2}+2x-1$ 由於它不能被分解，可以使用二次公式 $x=-1\pm {\sqrt {5}}$

判別式

方程的判別式對於確定方程有 2 個、1 個或 0 個根很重要。判別式的方程：$b^{2}-4ac$

$b^{2}-4ac>0$ : 方程有 2 個實根

$b^{2}-4ac=0$ : 方程有一個實根

$b^{2}-4ac<0$ : 方程沒有實根

如果 $ax^{2}+bx+c$ 中的中間項為偶數，則判別式可以計算為 ${\frac {b^{2}}{4}}-ac$。此修改後的方程的性質保持不變

高階函式

這些函式的次數為二或更高，因此具有兩個以上的根。例如，更高次多項式函式 y = x³ − 2x。這是一個三次方程，有三個根。要找到這些根，只需將方程因式分解。在本例中，它變為 x(x²−2)。從這裡，你可以使用平方差公式 (a²−b²) 進行因式分解。因此，方程變為 y=x(x+√2)(x−√2)。然後方程的根變為 0,±√2。