易經/八卦八進位制
古代中國的八個卦提供了通往元素思維的大門。當頂部和底部線條一致時，無論中間線條如何，卦都是對稱的。核心為陽的對稱卦是乾☰和坎☵。核心為陰的對稱卦是坤☷和離☲。這些是恩培多克勒的元素，被亞里士多德和柏拉圖採用。核心為陽的非對稱卦是兌☱和巽☴。核心為陰的非對稱卦是震☳和艮☶。
由於卦或八卦源於陰陽二元性，因此總存在卦與其補卦的對應關係。離和坎互為補卦，艮和兌互為補卦。正是陰陽的六度吸收在《易經》中顯現，而進入結構的方式是透過八卦。六十四卦對應於八卦上的一個完整的有向圖。該圖包括八個環，每個八卦一個，對應於重複的卦，所以《易經》中的八篇文章闡明瞭重複卦的強度，這些文章的名稱可以用來指代它們。
萊布尼茨在1703年表明，陰線可以看作零 (0)，陽線可以看作一 (1)，因此任意線條都是一個二進位制數字 (位元)。三條線就是三個位元或一個八進位制數。八進位制數字 0 到 7 提供了卦的簡短表示。互補關係為 n → 7−n。例如
離 = ☲ = 101 = 5 → 2 = 010 = ☵ = 坎。
《易經》是占卜的工具，傳統上使用蓍草或銅錢，根據隨機選擇進行諮詢。然而，六十四卦是有順序的，從陰陽的絕對分離開始，到陰陽線的完全交融結束。排序的原理仍然是一個謎。重複卦的順序如下
- 乾☰ 天 (1)，坤☷ 地 (2)，離☲ 火 (29)，坎☵ 水 (30)。
- 震☳ 雷 (51)，艮☶ 山 (52)，巽☴ 風 (57)，兌☱澤 (58)。
透過計算連續卦之間的差異，可以比較它們。在位元串的編碼理論中，這個計數稱為漢明距離。對於連續卦，最大距離為 6，對應於每個卦都被其補卦替換的情況。在六十三對連續卦中，有 23 對距離為 2，17 對距離為 4，12 對距離為 3。九種距離為 6 的情況（互補卦）如下：1 & 2，11 & 12，17 & 18，27 & 28，29 & 30，38 & 39，53 & 54，61 & 62，63 & 64。只有兩對距離為 1，沒有一對距離為 5。
對於用卦表示的十二個月，有一個明確的演算法：最黑暗的月份對應於全陰卦 (#2)。然後，一個月後，底部出現陽線 (#24)，光線開始出現。下一個月，兩條陽線 (#19) 從下方入侵卦。每個月都出現一條新的陽線，直到所有線都變成陽線，因此六個月後出現最亮的日子（夏至，#1）。該演算法繼續透過引入陰線：#44 的底部有一條陰線，代表進入夏天的第一個月。隨著從下方進入的陰線增加，最黑暗的月份 #2 又回來了。
能否找到從 1 到 64 的順序的演算法？它代表了從第一對到最後一對的去極化。漢明距離的衍生序列有一些特徵：沒有距離為 5，距離為 1 和 3 的距離很少，因此在整個《易經》中，距離在步進中主要是偶數。就八卦而言，出現了六次轉置：5 到 6，7 到 8，11 到 12，13 到 14，35 到 36，以及 63 到 64。在 19 種情況下，只有一個卦的位置發生變化。只有六步只有一個卦保持不變。由於註釋大量依賴於卦象，因此在文字中注意到了這些特徵。
只有希臘元素在序列中參與轉置。
- 坎☵ 在乾☰ 上方和下方為 #5 和 #6。
- 坤☷ 在坎☵ 上方和下方為 #7 和 #8。
- 坤☷ 在乾☰ 上方和下方為 #11 和 #12。
- 離☲ 在乾☰ 上方和下方為 #13 和 #14。
- 離☲ 在坤☷ 上方和下方為 #35 和 #36。
- 離☲ 在坎☵ 上方和下方為 #63 和 #64。
參考華夏公益教科書抽象代數可以增強本節的意義，其中介紹了二元運算、抽象群和迴圈群的基本概念。
根據萊布尼茨，將八卦解釋為二進位制數，將其與八階迴圈群相關聯。實際上，有五個不同的八階群，它們可以用八卦表示其元素。
例如，卦的三條線可以看作一個三位的二進位制暫存器，其上執行三個並行操作，這些操作使用模 2 整數的二進位制算術進行，其中 1 + 1 = 0。作為一個具有該操作的群，八卦表示
- 二階迴圈群的立方。
在 8 個八卦的集合上，另一個群結構可以使用子集 {☷, ☳, ☵, ☶} 或 {地，雷，水，山} 來表示四階迴圈群：另外四個八卦作為這四個八卦的補卦出現，互補操作生成二階迴圈群。使用這些操作，八卦代表乘積群
群代表八階的交換群（參見 Groupprops 連結）。但在群論中，二元運算可能不是對稱的：順序很重要：有些群具有元素 p 和 q，其中 pq ≠ qp。其中有兩種是八階的，稱為四元數群和二面體群。
卦的補卦將代表負元素。取乾☰ 代表 1，則其補卦坤☷ 代表 −1。由於八卦表示三位元的資訊，因此可以使用邏輯 AND 和 OR 操作將它們組合起來。用乾☰ 乘以使用 ^ (AND)，用坤☷ 乘以意味著呼叫補卦，寫作 T。
根據順序，自然地將☳ 對應 i，☵ 對應 j，☶ 對應 k，從而與四元數和二面體群的傳統表示聯絡起來。使用 v（或）運算來獲得兩個不同八卦的乘積，從而得到具有兩個陽線的乘積。四元數群對該乘積取補集，以獲得 i、j 或 k 之一。二面體群在 jk = ☵ v ☶ = ☴ = T☳ = − i 的情況下不使用補集。兩個不同因子的順序決定了乘積是簡單的還是補集的，因此在二面體群中 kj = i。
由於一個元素的負值是其補集，所以一個元素與其負值的或運算結果為☰ = 1。對於四元數群，可以將負號移到等式另一邊，使 i、j 或 k 的平方為 −1。然而，在二面體群中，j2 = +1 = k2。可以用元素的任何一種符號來確認群運算的結合律。這些群以它們所支援的四維代數而聞名，即四元數和分裂四元數。
總之，八個八卦及其順序和補集結構提供了表示任何八階群的方式。迴圈群對八卦的表示沒有特別的意義。事實上，這些八卦結構可以看作是抽象代數和二進位制計數法的先驅。