化學工程過程導論/非穩態能量和物料衡算

什麼是累積？

回顧一下，到目前為止，本文假設所有系統都處於**穩態**，這意味著沒有質量、能量或其他守恆量的積累。然而，在許多情況下，例如當操作水平發生變化時，系統將不處於穩態，並且質量和能量將隨著時間推移而**累積**。

關於累積最重要的是要記住，它與系統中物質的實際數量有關，而不是與任何型別的流速有關。如果您記住您是在處理實際的系統屬性而不是流速，這將有助於在非穩態平衡中保持術語的正確性。

非穩態物料衡算

讓我們從您應該已經熟悉和喜愛的通用平衡方程開始推導非穩態物料衡算

$In-Out+Generation=Accumulation$

用我們通常用於輸入、輸出和生成的術語替換這些術語，我們得到

$\Sigma {\dot {m}}_{i,in}-\Sigma {\dot {m}}_{i,out}+{\dot {m}}_{i,gen}=Accumulation$

現在我們必須提出累積的數學公式。與該方程中的所有其他術語不同，其他術語處理的是進入系統的能量流動，而累積處理的是系統在某個時間點已經存在的能量量，更具體地說，它是如何隨時間推移而變化的。

能量累積速度將不會是恆定的，除非它為零（否則世界上所有反應堆要麼會因過量的質量和能量積聚而爆炸，要麼會因所有反應物和產物都被排空而停止執行）。回想一下，如果累積達到零，系統處於穩態。大多數系統往往會在很長一段時間內趨於穩態（可能有多組穩態條件，但這裡不涉及），如下所示

這樣的系統被稱為**自調節**（或**自然穩定**）。如果一個系統不是自調節的，那麼必須使用特殊控制技術（參見 控制系統）來強制系統進入穩態。

為了考慮累積速度的變化，我們必須考慮在非常短的時間內變化率，實際上短到幾乎為零，並且累積與時間的關係曲線類似於一條直線。這條直線在時間 t 處的斜率近似為

$Slope={\mbox{ Accumulation rate at time t}}={\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}$

因此我們可以寫下以下內容

$Accumulation={\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}$

然後，我們將這個累積代入上面的物料衡算，得到物料衡算

${\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}=\Sigma {\dot {m}}_{i,in}-\Sigma {\dot {m}}_{i,out}$

在實際應用中，這個方程通常乘以$\Delta t$。然後，不再考慮流量，而是定義一個新的量

$\Delta m_{i}={\dot {m}}_{i}*\Delta t$

這個量是在有限的時間內進入系統的總質量。將這個定義代入質量平衡，得到以下

非穩態質量平衡

$\Sigma \Delta m_{i,in}-\Sigma \Delta m_{i,out}+m_{i,gen}=M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}$

例子:

一個進料流包含 $50{\frac {kg}{h}}$ 的水和 $1{\frac {kg}{h}}$ 的乙醇進入一個蒸餾塔。蒸餾塔通常有兩個出口流，稱為釜底和冷凝液。在穩態下，冷凝液中乙醇的質量分數為 12%，總冷凝液流量為 $9{\frac {kg}{h}}$。

有一天，老闆打電話來說需要提高產量，於是你將進料增加到 $60{\frac {kg}{h}}$。兩小時後，蒸餾塔發生了液泛。

a. 液泛的原因是什麼？

b. 假設整個過程的總出口質量流量保持不變，那麼塔內的總質量積累是多少？

c. 描述兩種可以改變流量以達到新的穩態的方法。新的穩態將產生與舊穩態相同的出口濃度嗎？解釋一下。（提示：分離效率與兩個出口流量之比有什麼關係？你可能需要做一些研究）

非穩態能量平衡

讓我們先檢查一下我們目前所知道的，並在等式右邊加上積累項（尚未用數學定義），因為我們不再處於穩態

$\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,out}+\Sigma {\dot {Q}}_{j}+{\dot {W}}_{s}=Accumulation$

遵循質量平衡的邏輯，我們得到積累項為

${\frac {E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}{\Delta t}}$

因此，我們得到

$\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,out}+\Sigma {\dot {Q}}_{j}+{\dot {W}}_{s}={\frac {E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}{\Delta t}}$

類似於質量平衡的情況，我們只能使用此方程式考慮**總**能量變化量在**總**時間段內的變化。為了做到這一點，我們將上面整個方程式乘以從某個起點到目標點的時間變化量。

現在我們需要一些定義

1. $Q={\dot {Q}}*\Delta t$ 是時間段內的**總**熱量流。
2. $W_{s}={\dot {W}}_{s}*\Delta t$ 是時間段內的**總**軸功。
3. ${\dot {m}}_{i}*\Delta t=\Delta m_{i}$ 是由於流 i 在時間段內流入（或流出）系統的**總**質量流量。
4. ${\dot {H}}_{i}*\Delta t=H$ 是由於流 i 在時間段內流入（或流出）系統的**總**焓。

這裡的主要假設是，**為了使此方程式有效，等號左側的焓、熱量流速和軸功必須保持不變，或者必須使用整個時間段的平均值**。該假設是否有效取決於具體情況（例如，取決於向您的過程提供物質的過程本身是否處於穩定狀態）。

考慮到這些因素，我們乘以時間變化量以獲得以下**非穩態**能量平衡。

非穩態能量平衡

$\Sigma ({\frac {1}{2}}\Delta {m}v^{2}+\Delta {m}gh+{H})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}\Delta {m}v^{2}+\Delta {m}gh+{H})_{i,out}+\Sigma {Q}_{j}+{W}_{s}={E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}$