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模態

羅伯特手持《蚱蜢沉重》一書，說道：“這本書描述的是什麼樣的替代現實？”
貝蒂沉吟片刻，說道：“一個德國和日本戰敗的現實。”
他們都沉默了。
(菲利普·K·迪克，《高堡奇人》)

這就是模態邏輯的基本前提：有些事情本來可能不同。
在我們日常推理中，我們區分了必然的真理和僅僅是真實的但本來可能是假的陳述。我們說後者是偶然的真，或者說它們的否定是可能的。必然、偶然、可能和不可能的概念密切相關：如果某事是不可能是假的，那麼它就是必然的，如果某事的虛假不是必然的，那麼它就是可能的。偶然是必然的否定，不可能是可能的否定。
模態邏輯試圖將模態的概念（必然、偶然、可能和不可能等）納入經典邏輯（命題邏輯和謂詞演算）的結構中，因此是經典邏輯的擴充套件。

模態命題演算

語法

模態邏輯在經典邏輯中引入了三個新符號：$\Box$（必然）、$\Diamond$（可能）和$\Rightarrow$（如果，那麼）。公式以通常的方式構建，但在閉包條款之前新增以下規則（參見命題演算中合式公式的規則）。

• 如果$\alpha$是一個合式公式，那麼$\Box \alpha$和$\Diamond \alpha$也是合式公式。
• 如果$\alpha$和$\beta$是合式公式，那麼$\alpha \Rightarrow \beta$也是一個合式公式。

事實上，人們可以使用僅 $\Box$ 或 $\Diamond$ 的公理化方式來定義模態命題演算。例如，如果我們希望用 $\Box$ 來定義 $\Diamond$ 和 $\Rightarrow$，$\Diamond \alpha$ 可以簡單地定義為 $\neg \Box \neg \alpha$ 的簡寫符號，而 $\alpha \Rightarrow \beta$ 則是 $\Box (\alpha \rightarrow \beta )$ 的另一種寫法。

參考文獻

• 休斯，G. E.，& 克雷斯維爾，M. J.: 模態邏輯導論，梅休恩與公司有限公司，倫敦（1972）。
• 休斯，G. E.，& 克雷斯維爾，M. J.: 模態邏輯伴侶，梅休恩與公司有限公司，倫敦（1984）。
• 斯穆裡安，R.: 永遠未定（1987）。第九部分：可能世界。

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