線性代數入門/矩陣

動機

矩陣的一個重要應用是求解線性方程組。以下的一些定義可以被視為“為求解線性方程組而設計”。

一些術語

定義。

一個具有 *m* 行和 *n* 列的矩陣。

(矩陣) 矩陣（複數：矩陣）是一個數字的矩形陣列。水平單元是一個 行，而垂直單元是一個 列。第 $\color {blue}i$th 行 和第 $\color {red}j$th 列 中的元素是矩陣的第 $({\color {blue}i},{\color {red}j})$th 項。

一個 $m\times n$ (讀作“m 行 n 列”) 是一個擁有 $m$ 行和 $n$ 列的矩陣，$m\times n$ 是該矩陣的 大小。行從上到下計數，列從左到右計數。如果矩陣的大小為 $1\times 1$，我們簡單地稱該矩陣為一個 數，在這種情況下不需要括號。所有 $m\times n$ 矩陣的 集合，其中包含 實數元素，記為 $M_{m\times n}(\mathbb {R} )$。通常用 大寫字母表示 矩陣，而用 小寫字母表示其 元素。例如，$A=(a_{ij})_{m\times n}$ 表示一個 $m\times n$ 矩陣 $A$，其元素為 $a_{ij}$，其中 $1\leq i\leq \underbrace {m} _{\text{no. of rows}}$ 且 $1\leq j\leq \underbrace {n} _{\text{no. of columns}}$。（如果矩陣的大小已經提到，或者矩陣的大小不重要，我們可以省略指定矩陣大小的下標。）

定義. （矩陣相等）兩個矩陣 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{k\times \ell }$ 相等，如果

1. $m=k$,
2. $n=\ell$ 且
3. $a_{ij}=b_{ij}$ 對於每一對 $(i,j)$.

我們寫 $A=B$ 如果 $A$ 和 $B$ 是 相等 的。

備註。

• 換句話說，如果兩個矩陣具有 相同 的大小和 相同 的元素，則它們相等。
• 如果 $A$ 和 $B$ 是 不 相等的，我們寫 $A\neq B$.

練習。 考慮以下三個矩陣 $A,B$ 和 $C$. $$A=(a_{ij})_{m\times n}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}},\quad B=(b_{ij})_{k\times \ell }={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}\;{\text{and}}\quad C=(c_{ij})_{p\times q}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$$

1 從以下語句中選擇正確語句。

	$A=B$
	$A=C$
	$B=C$
	$A=B=C$
	$A\neq B\neq C$

2 從以下語句中選擇正確語句。

	$a_{12}=2$
	$b_{23}=6$
	$a_{31}=c_{31}=3$
	$a_{ij}=b_{ji}$ 對於每一對 $(i,j)$

3 從以下語句中選擇正確的語句。

	$m=p=2$
	$n=k=2$
	$m=\ell =3$
	$p=q=2$

練習. 令 $A=(a_{ij})$ 是一個 $3\times 2$ 矩陣，其中每個條目 $a_{ij}=i+2j$。寫下 $A$ 以數字陣列的形式。

(a11 a12 )

(a21 a22)

(a31 a32)

$A={\begin{pmatrix}3&5\\4&6\\5&7\end{pmatrix}}.$

特別是，如果一個矩陣的行數和列數相同，那麼它就具有一些很好的性質。鑑於這種矩陣的形狀（類似於正方形），我們將此類矩陣定義為方陣.

定義. (方陣) 一個 方陣 是一個行數和列數相同的矩陣。

我們還將介紹一個術語，即 主對角線，它在某些情況下會很有用。

定義. (主對角線) 一個 $n\times n$ 矩陣（它是一個 方陣）的 主對角線 是指 $(1,1)$，$(2,2)$，$\ldots$，$(n,n)$ 位置的元素的 集合.

舉例. 矩陣 $I_{3}={\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&0\\0&{\color {green}1}&0\\0&0&{\color {green}1}\end{pmatrix}}$ 的主對角線是 $1,1$ 和 $1$ 的集合.

備註. 矩陣 $I_{3}$ 是 單位矩陣（將在後面定義）。

接下來，我們將定義一些矩陣型別，它們的定義都與 主對角線 有關。

定義. (三角矩陣) 一個 三角矩陣 是指一個 上三角矩陣 或一個 下三角矩陣（包含兩者）。

一個 上三角矩陣 是指一個 方陣，其 主對角線 下方 的所有元素都是 $0$.

一個 下三角矩陣 是指一個 方陣，其 主對角線 上方 的所有元素都是 $0$.

備註。

• 等價地，用符號表示，矩陣 $A=(a_{ij})$ 是 上三角矩陣 如果 $a_{ij}=0$ 當 $i>j$，

它是 下三角矩陣 如果 $a_{ij}=0$ 當 $i<j$.

• 上三角矩陣和下三角矩陣的形式如下：

$\underbrace {\begin{pmatrix}*&*&*&\cdots &*\\0&*&*&\cdots &*\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&0&\cdots &0&*\end{pmatrix}} _{\text{Upper triangular matrix}}\quad {\text{and}}\quad \underbrace {\begin{pmatrix}*&0&\cdots &0&0\\*&*&0&\cdots &0\\*&*&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\*&*&\cdots &*&*\end{pmatrix}} _{\text{Lower triangular matrix}}$ 分別是 **上三角矩陣** 和 **下三角矩陣**，其中 $*$ 是一個 任意 元素（可能是 0 也可能不是）。

定義.（對角矩陣） 對角矩陣 是一個 方 矩陣，它的元素 不 在 主對角線 上的都是 $0$.

備註。

• 對角矩陣既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。
• 對角矩陣的形式為

${\begin{pmatrix}*&0&0&\cdots &0\\0&*&0&\cdots &0\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&\cdots &*\end{pmatrix}}$，其中 $*$ 是一個 任意 元素。

練習。

1 從以下語句中選擇所有正確的語句。

	每個元素都是 $0$ 的矩陣是對角矩陣。
	每個元素都是 $0$ 的矩陣是三角矩陣。
	對角矩陣是三角矩陣。
	三角矩陣是對角矩陣。
	對角矩陣是 唯一 一種既是上三角矩陣又是下三角矩陣的矩陣。

2 從以下矩陣中選擇所有上三角矩陣。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

3 從以下矩陣中選擇所有下三角矩陣。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

4 從以下矩陣中選擇所有三角矩陣。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

5 從以下矩陣中選擇所有對角矩陣。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

我們這裡提到的最後一個術語是 子矩陣，有時會用到。

定義。 (子矩陣) 設 $A$ 是一個矩陣。一個 子矩陣 of $A$ 是從 $A$ 中 移除 一些 行 或 列 (包括) 得到的矩陣。

備註。 按照慣例，每個矩陣都是其自身的 子矩陣。

練習。

從以下矩陣中選擇 ${\begin{pmatrix}3&5&7\\4&6&8\\5&7&9\end{pmatrix}}$ 的所有子矩陣。

	${\begin{pmatrix}3&5&7\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$
	2
	7
	${\begin{pmatrix}3&7\\5&9\end{pmatrix}}$

矩陣運算

在本節中，我們將介紹不同的矩陣運算。一些運算與數系中的運算截然不同，特別是矩陣乘法。

定義。 （矩陣加減法）設 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{m\times n}$ 是兩個 相同大小 的矩陣。我們定義矩陣 加法 和 減法 為 $$A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})_{m\times n}.$$

定義。 （矩陣的標量乘法）設 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 是一個矩陣。我們定義矩陣的 標量乘法 為 $$cA=(ca_{ij})_{m\times n}.$$

接下來，我們將定義 矩陣乘法，它與數系中的乘法有很大不同。

定義。

矩陣乘法的示例。

(矩陣乘法) 令 $A=(a_{ij})_{{\color {blue}m}\times {\color {green}n}}$ 和 $B=(b_{ij})_{{\color {green}n}\times {\color {red}\ell }}$ 是兩個矩陣。矩陣乘積 $AB$ 指 $A$ 和 $B$ 的乘積，定義為一個 ${\color {blue}m}\times {\color {red}\ell }$ 的矩陣，其 $({\color {purple}i},{\color {brown}j})$ 項是 $$\sum _{k=1}^{n}(a_{{\color {purple}i}k}b_{k{\color {brown}j}})=a_{{\color {purple}i}1}b_{1{\color {brown}j}}+a_{{\color {purple}i}2}b_{2{\color {brown}j}}+\cdots +a_{{\color {purple}i}n}b_{n{\color {brown}j}}.$$ 如果 $A$ 的列數 ($\color {blue}m$) 與 $B$ 的行數 ($\color {red}\ell$) 不同，則乘積 $AB$ 沒有定義。

另一方面，方陣 的正 冪 的定義與數系中的定義非常類似。

定義。 （方陣的正冪）令 $A$ 為一個 方 陣。$p$ 次方，寫成 $A^{p}$，其中 $p$ 是一個正數，是指 $p$ 個 $A$ 的 乘積，即 $$A^{p}=\underbrace {AA\cdots A.} _{{\text{product of}}\;p\;{\text{copies of}}\;A}$$

練習。

從以下陳述中選擇所有正確的陳述。

	${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}$.
	${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}$
	$(a_{ij})_{n\times n}^{2}=(a_{ij}^{2})_{n\times n}$.
	$A+B=B+A$ 對於每個矩陣 $A$ 和 $B$。
	$((ij)a_{ij})_{m\times n}=ij(a_{ij})_{m\times n}$.

然後，我們將討論數字系統中零和一的矩陣類似物，即 零矩陣 和 單位矩陣，它們在數字系統中類似於數字 $0$ 和 $1$。

定義。（零矩陣）零矩陣 是 $m\times n$ 矩陣，其所有元素均為 $0$，用 $O_{m\times n}$ 表示，如果不存在歧義，則簡稱為 $O$。

備註。 零矩陣類似於數系中的數字 $0$，因為

1. 對於每個與零矩陣大小相同的矩陣 $A$，我們有 $O+A=A+O=A$。
2. 如果乘積定義良好，對於每個矩陣 $A$，我們有 $OA=AO=O$。

定義。（單位矩陣）$n\times n$ 單位矩陣，用 $I_{n}$ 表示，如果不存在歧義，則簡稱為 $I$，是 $n\times n$ 對角矩陣，其對角元素均為 ${\color {green}1}$。

備註。 單位矩陣類似於數系中的數字 $1$，因為如果乘積定義良好，對於每個矩陣 $A$，我們有 $AI=IA=A$。

示例。

• 零矩陣 $O_{2\times 1}$ 是 ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
• 單位矩陣 $I_{2}$ 是 ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

命題. (矩陣運算的性質) 令 $A,B$ 和 $C$ 為矩陣，使得以下運算定義良好，令 $c$ 為標量。那麼，以下成立。

(i) (矩陣乘法的結合律) $(AB)C=A(BC)$.

(ii) (零和一的矩陣乘法) $AO=O,\,OB=O,\,AI=A,\,IB=B$

(iii) (矩陣乘法的分配律) $\underbrace {A(B+C)=AB+AC} _{\text{左分配律}},\,\underbrace {(A+B)C=AC+BC} _{\text{右分配律}}$

(iv) $c(AB)=(cA)B=A(cB)$.

備註. 矩陣乘法一般來說 不滿足交換律，即矩陣乘積 $AB$ 通常不同於矩陣乘積 $BA$。

接下來，我們將介紹在數系中不存在的一種運算，即轉置。

定義. (矩陣轉置) 令 $A=(a_{{\color {purple}i}{\color {green}j}})_{{\color {blue}m}\times {\color {red}n}}$ 為矩陣。矩陣 $A$ 的 轉置 是矩陣 $$A^{T}=(a_{{\color {green}j}{\color {purple}i}})_{{\color {red}n}\times {\color {blue}m}}.$$

備註. 從定義可以看出， $1\times 1$ 矩陣的 轉置 就是它本身。

示例。

這個例子說明了這一點。

令 $A$ 為矩陣 ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}$。那麼，$$A^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \left(A^{T}\right)^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}=A.$$

命題. (矩陣轉置的性質) 令 $A$ 和 $B$ 為矩陣，使得以下運算均有定義。則，以下結論成立。

(i) (自逆性) $(A^{T})^{T}=A$

(ii) (線性) $(aA+bB)^{T}=aA^{T}+bB^{T}.$ 對於每個實數 $a$ 和 $b$

(iii) ('逆乘法性') $\color {green}(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

定義。

一個 $5\times 5$ 對稱矩陣的對稱模式。

(對稱矩陣) 矩陣 $A$ 是一個 對稱矩陣，如果 $$A^{T}=A.$$

定義. (反對稱矩陣) 矩陣 $A$ 是一個 反對稱矩陣，如果 $$A^{T}={\color {green}-}A.$$

命題。 （對稱矩陣和反對稱矩陣的必要條件）對稱矩陣或反對稱矩陣 必須是 方陣。

證明。 這可以從觀察到矩陣轉置與原矩陣大小相同 當且僅當 矩陣為 方陣 推匯出，因為矩陣轉置的行列交換，只有當行數等於列數時大小才保持不變。

$\Box$

備註。 這 不 意味著每個方陣都是對稱矩陣或反對稱矩陣。 矩陣為方陣本身的條件 不足夠（但 必要）使其成為對稱矩陣或反對稱矩陣。

示例。 ${\begin{pmatrix}1&{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&8&{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&5\end{pmatrix}}$ 是對稱矩陣，而 ${\begin{pmatrix}0&{\color {blue}2}&-{\color {red}3}\\-{\color {blue}2}&0&-{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}$ 是反對稱矩陣，其轉置為 ${\begin{pmatrix}0&-{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&0&{\color {green}4}\\-{\color {red}3}&-{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}$。 在反對稱矩陣中，所有位於主對角線上的元素必須為 0。