線性代數導論/線性方程組

矩陣形式的線性方程組

在以矩陣形式表示線性方程組之前，我們應該定義什麼是線性方程組。

定義。 （線性方程組）一個線性方程組（SLE）在$n$ 個未知數$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是以下形式的方程族 $${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\quad \qquad \qquad \qquad \vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}}$$ 其中 $a_{ij}$ 和 $b_{k}$ 是常數。

備註。

• 在其他一些定義中，單個線性方程可以被視為線性方程組，但由於我們已經可以很容易地解出單個線性方程，所以我們對這種情況不感興趣，因此我們不包括這種可能性。

我們經常使用術語“一致”和“不一致”來描述線性方程組的解的個數。

定義。

這個由三個線性方程組成的二元方程組是不一致的，因為三條直線沒有共同的交點。

（線性方程組的一致性）

如果一個線性方程組至少有一個解，那麼它就是一致的。否則，它就是不一致的（即，如果它沒有解，則它就是不一致的）。

備註。

• 正如我們所見，SLE 可以沒有解，一個唯一解，或無窮多個解。因此，SLE 是一致的當且僅當它有一個唯一解或無窮多個解。

示例。 （一致的 SLE）考慮 SLE $${\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\3x+6y=9&\quad (2)\end{cases}}.$$ 由於 $$(2)\iff 3x+6y=9\iff (3/3)x+(6/3)y\iff (9/3)\iff x+2y=3\iff (1),$$ 這些解是 $(x,y)$，使得 $x+2y=3$。因此，這個 SLE 有無窮多個解，這個 SLE 是一致的。

示例：（不一致的 SLE）考慮 SLE $${\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\x+2y=4&\quad (2)\end{cases}}.$$ 將 $(1)$ 代入 $(2)$，我們得到 $$3=4$$，這是錯誤的，因此不存在 $(x,y)$ 使得兩個方程都滿足。也就是說，SLE 沒有解，因此它是不一致的。

示例：（SLE 的應用）假設十瓶橙汁被分配給一隻雞、一隻鴨和一隻鵝。已知雞和鴨的橙汁數量相同，鵝比雞多一瓶橙汁，那麼每隻動物分配了多少瓶橙汁？

解答：用 $c,d$ 和 $g$ 分別表示分配給雞、鴨和鵝的橙汁瓶數。那麼，根據情況和給定條件，我們有以下 SLE：$${\begin{cases}c+d+g=10&\quad (1)\\c=d&\quad (2)\\g=c+1&\quad (3)\end{cases}}$$ 其中 $c,d,g$ 都是非負整數。

將 $(2)$ 和 $(3)$ 代入 $(1)$，我們有 $$c+c+c+1=10\implies c=3.$$ 因此，$d=c=3$，和 $g=c+1=4$.

因此，雞和鴨各分配了 三 瓶橙汁，鵝分配了 四 瓶橙汁。

練習。

1 從以下選項中選擇 SLE。

	$${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\2x+3y=4\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}\pi x+{\sqrt {\pi }}y=\ln 2\\x+y{\sqrt {2}}=2\end{cases}}$$

2 每個學生的最終分數（最高分是$100$）是學生在考試 1 和考試 2 中分數的加權平均值（考試 1 和考試 2 的滿分都是$100$）。學生 A 在考試 1 和考試 2 中分別獲得了$90$ 和$80$ 分，學生 B 在考試 1 和考試 2 中分別獲得了$75$ 和$100$ 分。假設考試 1 和考試 2 的分數權重分別是$w_{1}$ 和$w_{2}$。已知學生 A 的最終分數恰好是$85.23$。以下哪個（些）是正確的？

	給定資訊不足以計算$w_{1}$ 和$w_{2}$
	權重的一種可能分配是$(w_{1},w_{2})=(0.6,0.390375)$
	學生 B 的最終分數與學生 A 的最終分數相同
	學生 B 的最終分數嚴格高於學生 A 的最終分數
	學生 B 的最終分數嚴格低於學生 A 的最終分數
	我們不知道學生 B 的最終分數是高於、低於還是與學生 A 的最終分數相同

在定義了一個 線性方程組 後，我們可以用多種方式將其表示成矩陣形式，如下定義所示。

定義。 (係數矩陣和增廣矩陣) 令 $${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\quad \qquad \qquad \qquad \vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$$ 是未知量 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的線性方程組，其中 $a_{ij}$ 和 $b_{k}$ 是常數。

矩陣 ${\color {green}(a_{ij})_{m\times n}}$ 是該方程組的 係數矩陣，而矩陣 $$\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{n}\end{array}}\right)$$ 是該方程組的 增廣矩陣。

備註。

• 增廣矩陣中的豎線是 可選的，它用來將線性方程組中 '=' 左側的常數與右側的常數隔開。
• 該方程組等價於

$$\underbrace {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;A}\underbrace {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;\mathbf {x} }=\underbrace {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;\mathbf {b} },$$ 可以改寫為 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

• 增廣矩陣 提供了求解線性方程組的 所有必要資訊，因為求解線性方程組時不需要未知數的符號。

示例。 （係數矩陣和增廣矩陣）考慮線性方程組 $${\begin{cases}w+x+y=1\\w+z=3\\x+z=8\end{cases}}$$，可以被表示為 $${\begin{cases}w+x+y+0z=1\\w+0x+0y+z=3\\0w+x+0y+z=8\end{cases}}.$$

該 SLE 的 係數矩陣 是 $${\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&1\\0&1&0&1\end{pmatrix}},$$，而該 SLE 的 增廣矩陣 是 $$\left({\begin{array}{cccc|c}1&1&1&0&1\\1&0&0&1&3\\0&1&0&1&8\end{array}}\right).$$ 我們也可以將此 SLE 表示為 $${\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&1\\0&1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}},$$，它具有 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 的形式。

練習。

1 從以下選項中選擇 SLE。

	$(a_{ij})_{3\times 3}$
	$\left({\begin{array}{cc|c}1&2&3\\4&5&6\end{array}}\right)$
	${\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$
	$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 其中 $A$ 是一個 $3\times 2$ 矩陣，$\mathbf {x} ,\mathbf {b}$ 是 $3\times 1$ 矩陣。

2 一個 SLE 由增廣矩陣$${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&6\\0&0&0&0&1&0&3\\0&0&0&1&0&0&8\\0&0&0&0&0&1&2\end{pmatrix}}.$$ 選擇正確的說法。

	一個可能的解是$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})=(0,0,6,3,8,2)$
	一個可能的解是$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})=(0,0,6,8,3,2)$
	該 SLE 的係數矩陣大小是$6\times 7$
	該 SLE 有唯一解。

3 以下哪個（些）是代表 SLE $${\begin{cases}x+2y=3\\6x+8y+2z=0\end{cases}}$$ 的增廣矩陣？

	該 SLE 的增廣矩陣不存在。
	${\begin{pmatrix}1&2&0&3\\6&8&2&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&3\\6&8&2\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&0\\6&8&2\end{pmatrix}}$

4 從以下選項中選擇代表不一致 SLE 的增廣矩陣。

	${\begin{pmatrix}1&1&1\\6&6&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}}$
	$I_{2}$
	$I_{3}$
	$O_{2\times 2}$

高斯-約旦消元法

定義。 (初等行變換) 我們可以在一個 矩陣 上執行 三種 型別的 初等行變換 (ERO)，如下所示

• (型別 I) 交換 兩個不同的行
• (型別 II) 用 非零 標量 乘以 一行
• (型別 III) 將 一行 的 標量倍數 加 到 另一行

備註。 我們使用以下符號來表示 ERO

• $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{m}$: $m\times n$ 矩陣的行（使用 **粗體** 表示，因為行本質上是行 向量）
• $\mathbf {r} _{\color {blue}i}{\color {green}\leftrightarrow }\mathbf {r} _{\color {red}j}$: 交換 $\color {blue}i$ 行和 $\color {red}j$ 行
• ${\color {green}k}\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$: 乘以 $i$ 行的 非零 標量 $\color {green}k$
• ${\color {purple}k}\mathbf {r} _{\color {red}j}{\color {green}+}\mathbf {r} _{\color {blue}i}\to \mathbf {r} _{\color {blue}i}$: 加 $\color {purple}k$ 倍的 $\color {red}j$ 行到 $\color {blue}i$ 行

定義。 (行等價) 兩個 相同大小 的矩陣，如果一個矩陣可以透過對另一個矩陣進行 一些 ERO 來得到，則它們彼此 行等價。

備註。

• 由於 ERO 可逆（根據以下命題），如果矩陣 $A$ 可以透過執行一些 ERO 從矩陣 $B$ 獲得，那麼 $B$ 也可以透過執行一些 ERO 從 $A$ 獲得（每個 ERO 都是用於從 $B$ 獲得 $A$ 的 ERO 的逆操作，以合適的順序執行）。

• 因此，為了證明 $A$ 和 $B$ 的行等價性，只需證明 $A$ 可以透過一些 ERO 從 $B$ 獲得（反之亦然，任意一個方向都可以）($A$ 和 $B$ 的大小相同）。

Example. (Demonstration of three types of EROs) Consider the matrix $$A={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\end{pmatrix}}.$$ We perform some EROs as follows: $${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\end{pmatrix}}&{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\end{pmatrix}}\\&{\overset {\pi \mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\end{pmatrix}}\\&{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\2({\color {blue}4})+{\color {red}1}&2({\color {blue}5})+{\color {red}2}&2({\color {blue}6})+{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {(1/\pi )\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\\end{pmatrix}}=A.\end{aligned}}$$ Each matrix shown here is row equivalent to $A$, since each of them can be obtained from $A$ by performing some EROs, and has the same size as $A$ (it also shows how to perform EROs in suitable order to reverse the EROs performed previously).

練習。

1 以下哪些矩陣與 $I_{3}$，大小為 $3\times 3$ 的單位矩陣，行等價？

	$I_{4}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&12\\-8&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

2 選擇正確的說法。

	在執行行初等變換 $\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{3}\leftrightarrow \mathbf {r} _{1}$ 後，按此順序，對至少三行的矩陣進行操作，所得矩陣與原矩陣相同。
	在執行行初等變換 $3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}$ 後，對 $I_{2}$ 進行操作，我們得到 ${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$。
	給定兩個任意的行初等變換，對同一個矩陣按不同順序進行操作，所得矩陣相同。
	給定兩個任意的行初等變換，對同一個矩陣按不同順序進行操作，所得矩陣不同。

命題. （行初等變換是可逆的）如果矩陣 $A$ 可以透過執行一些行初等變換從矩陣 $B$ 得到，那麼 $B$ 也可以透過執行一些行初等變換（可能與從 $B$ 得到 $A$ 的行初等變換不同）從 $A$ 得到。

證明. 概述：每種型別的行初等變換都有一個逆過程（即，執行行初等變換及其逆過程，按任意順序，對矩陣沒有影響），這也是一個行初等變換本身，如下所示。

• 型別 I 行初等變換 $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$ 的逆過程也是 $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$。
• II 型 ERO 的逆過程 $k\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$ 是 II 型 ERO ${\frac {1}{k}}\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$（如果 $k=0$，則此 ERO 未定義，這就是為什麼 $k$ 必須非零才能使 II 型 ERO 可逆）。
• III 型 ERO 的逆過程 $k\mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$ 是 III 型 ERO $-k\mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$

$\Box$

示例.（每種型別 ERO 的逆過程的說明）

• 型別 I

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}\\\end{pmatrix}}{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}$$

• 型別 II

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}k}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\color {green}k}&{\color {red}2}{\color {green}k}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}{\frac {1}{k}}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\color {green}{\cancel {k}}}\cdot {\color {green}{\frac {1}{\cancel {k}}}}&{\color {red}2}{\color {green}{\cancel {k}}}\cdot {\color {green}{\frac {1}{\cancel {k}}}}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}\quad (k\neq 0)$$

• III 型

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}k}\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}+{\color {blue}3}{\color {green}k}&{\color {red}2}+{\color {blue}4}{\color {green}k}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}-k}\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\cancel {+{\color {blue}3}{\color {green}k}-{\color {blue}3}{\color {green}k}}}&{\color {red}2}{\cancel {+{\color {blue}4}{\color {green}k}-{\color {blue}4}{\color {green}k}}}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}$$

練習。

1 選擇與初等行變換 $2^{-1}\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$ 相反的初等行變換是.

	$2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$
	$2\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$2^{-1}\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$2^{-1}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$

2 選擇與初等行變換 $2^{-1}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$ 相反的初等行變換是.

	$-2^{-1}\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$-2^{-1}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$
	$-2\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$

命題。 (行等價矩陣有相同解集) 設 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 和 $C\mathbf {y} =\mathbf {d}$ 是兩個具有 相同方程式數量 和 相同變數數量 的線性方程組。如果 增廣矩陣 $(A|\mathbf {b} )$ 和 $(C|\mathbf {d} )$ 是 行等價，那麼這兩個系統具有 相同的解集。

證明。 大綱：足以表明如果我們執行一個行初等變換，解集將保持不變。例如

• 第一類行初等變換

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}4x+5y=6\\x+2y=3\\\end{cases}}$$

• 第二類行初等變換

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}kx+2ky=3k\\4x+5y=6\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}\quad (k\neq 0)$$

• 第三類行初等變換

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\(4+k)x+(5+2k)y=6+3k&\quad (2)\\\end{cases}}$$ $(1)-k(2):$ $$(4+k-k)x+(5+2k-2k)y=6+3k-3k\iff 4x+5y=6$$

$\Box$

練習. 考慮三個行等價矩陣 $$A={\begin{pmatrix}7&5&3&4\\6&2&3&2\\4&8&1&6\\\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&1\\0&0&1&2\\\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}7&5&3&4\\0&16&-3&10\\0&0&1&2\end{pmatrix}}.$$

1 解線性方程組 $${\begin{cases}7x+5y+3z&=4\\6x+2y+3z&=2\\4x+8y-z&=6\end{cases}}.$$

其唯一解為

$x=$

$y=$

$z=$

2 解線性方程組 $${\begin{cases}3x+5y+7z&=4\\-3x+16y&=10\\x&=2\end{cases}}.$$

其唯一解為

$x=$

$y=$

$z=$

定義. (主元) 矩陣中一行中的 主元 是該行中最 左邊的非零元素.

例如： 矩陣 $${\begin{pmatrix}0&{\color {blue}2}&3\\0&0&{\color {blue}3}\\{\color {blue}8}&6&2\\\end{pmatrix}}$$ 的第一、第二和第三行的首項分別為 $2,3,8$。

練習。

1 矩陣 $O_{3\times 3}$ 的第一行的首項是什麼？

	0
	1
	2
	3
	不存在

2 矩陣 $I_{3\times 3}$ 的第一行的首項是什麼？

	0
	1
	2
	3
	不存在

定義： （行階梯形）一個矩陣處於 行階梯形 (REF) 當且僅當

1. 所有 零行 （如果存在）位於矩陣的 底部，並且
2. 每個非零行的 首項 總是嚴格位於 上方行 的 首項 的 右側。

定義： （簡化行階梯形）一個矩陣處於 簡化行階梯形 (RREF) 當且僅當

1. 它處於行階梯形 (REF)，
2. 每個 非零行 的 首項 等於 ${\color {green}1}$ （稱為 首一），並且
3. 對於每個 首一， 同一列中的其他 元素均為 零。

例如： （REF 和 RREF 的示例）

• 以下矩陣處於 REF，但沒有處於 RREF

$${\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&2&1&1\\0&{\color {blue}2}&9&4\\0&0&0&{\color {blue}7}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&2&1&1\\0&{\color {blue}2}&9&4\\0&0&0&{\color {blue}7}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&{\color {blue}3}&2&1&0\\0&0&0&0&0&{\color {blue}2}\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$

• 以下矩陣處於 RREF（因此也處於 REF）

$${\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}&1\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}&2\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}&9\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {green}0}&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}&1\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}&2\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}&9\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&{\color {blue}1}&{\color {green}0}&{\color {green}0}\\0&{\color {green}0}&{\color {blue}1}&{\color {green}0}\\0&{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {blue}1}\\\end{pmatrix}},I,O$$

• 以下矩陣不是 REF (因此也不在 RREF 中)

$${\begin{pmatrix}1&2&1&1\\{\color {red}0}&{\color {red}0}&{\color {red}0}&{\color {red}0}\\0&1&9&4\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&{\color {red}1}\\0&0&{\color {red}1}&2&1&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&2&3\\{\color {red}4}&5&6\\{\color {red}7}&8&9\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&{\color {red}1}\\0&{\color {red}1}&0\\{\color {red}1}&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&0&0\\0&{\color {red}1}&0\\0&{\color {red}1}&0\\\end{pmatrix}}$$

練習。

1 從以下選項中選擇 RREF(s)。

	${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&2&2\\0&2&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&2&0\end{pmatrix}}$

2 矩陣 $${\begin{pmatrix}x&0&0&1\\0&x&2x&0\\x&x&1&3\end{pmatrix}}$$ 為行最簡形式，$x$ 有多少個可能值？

	0
	1
	2
	3
	無窮多個

3 考慮矩陣 $${\begin{pmatrix}y&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&y&0&y&0\\0&0&0&y&0&0&0&y\\0&0&0&0&0&0&y&y\\\end{pmatrix}}$$ 為行階梯形式，$y$ 有多少個可能值？

	0
	1
	2
	3
	無窮多個

4 考慮矩陣 $${\begin{pmatrix}0&x&0&0\\0&0&y&0\\0&0&0&z\end{pmatrix}}$$ 為行最簡形式，$(x,y,z)$ 有多少個可能值？

	6
	7
	8
	9
	無窮多個

定義. (高斯-約旦消元法) 高斯-約旦消元法 是對矩陣進行一些初等行變換將其轉換為行最簡形式的過程。其步驟如下：

1. 考慮最左側的非零 列，例如第 $i$ 列。交換行（如果需要）使第 1 個 $a$ $i$ 非零。
2. 將第一行乘以$a^{-1}$，使得第$i$列的第一個元素為$1$。
3. 對於第$i$列中非零元素為$b$的每一行，加上$-b$倍的第一行，使得該行中元素$b=0$。
4. 如果除了第一行之外所有行都是零行，則操作完成。否則，考慮第一列，該列包含一個非零元素，且不在第一行，假設該列為第$j$列。交換第一行下方的行（如果需要），使得第二行在第$j$列的元素$c$為非零。
5. 將第二行乘以$c^{-1}$，使得第$j$列的第二個元素等於$1$。
6. 對於第$j$列中非零元素為$d$的每一行，加上$-d$倍的第二行，使得該行中元素$d=0$。
7. 重複以上過程，依次考慮每一行，直到所有行或列都被使用，或者剩餘的行都是零行。最終得到的矩陣即為矩陣的RREF。

備註。

• 矩陣$A$的RREF是透過對$A$進行一些初等行變換得到的。

• 因此，每個矩陣都有其RREF，因為我們可以對任何矩陣應用高斯-若爾當消元法。

• 矩陣的RREF是唯一的（證明比較複雜，這裡省略）。
• 在一些其他關於高斯-若爾當消元法的定義中，某些步驟可能有所不同，但我們也應該能夠透過這些方法將矩陣轉換為其RREF。
• 你可以訪問這個網站，它可以幫助你進行初等行變換、高斯-若爾當消元法等相關計算。

示例。（高斯-約旦消元法的圖示）$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&0&1\\3&3&2\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}3&3&2\\0&0&1\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\text{step 1}}\\&{\overset {{\frac {1}{3}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&0&1\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\text{step 2}}\\&{\overset {-8\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&0&1\\0&-6&2/3\\\end{pmatrix}}&{\text{step 3}}\\&{\overset {\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&-6&2/3\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 4}}\\&{\overset {-{\frac {1}{6}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&1&-1/9\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 5}}\\&{\overset {-\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&0&7/9\\0&1&-1/9\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 6}}\\&{\overset {{\frac {1}{9}}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\overset {-{\frac {7}{9}}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 7}}\end{aligned}}$$

練習。

使用高斯-約旦消元法解線性方程組$${\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\end{cases}}$$。

其唯一解為

$x=$

$y=$

證明矩陣 $${\begin{pmatrix}1&4&2&1&0&0\\3&1&5&0&1&0\\0&1&0&0&0&1\end{pmatrix}}$$ 的行最簡形式是 $${\begin{pmatrix}1&0&0&-5&2&18\\0&1&0&0&0&1\\0&0&1&3&-1&-11\\\end{pmatrix}},$$

並且 $${\begin{pmatrix}1&4&2\\3&1&5\\0&1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&2&18\\0&0&1\\3&-1&-11\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=I_{3}$$

命題. (確定線性方程組解的個數) 令 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 為一個由 $m$ 個線性方程組成的系統，包含 $n$ 個未知數。令 $R$ 為 增廣矩陣 $(A|\mathbf {b} )$ 的 行最簡形式，其大小為 $m\times (n+1)$。那麼，以下結論成立。

• 如果 $R$ 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中包含一個 主元，則該系統 無解
• 如果 $R$ 在 前 ${\color {green}n}$ 列 中 每一列 都包含一個 主元，但 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中 沒有 主元，則該系統有 唯一解。
• 如果 $R$ 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中 沒有首個1，並且 並非所有 的 前 ${\color {green}n}$ 列 都包含首個1，則該系統具有 無窮多解

備註： 由於 $R$ 僅需滿足這三個條件中的一個，因此線性方程組的解的數量只能是 零（無解）、一（唯一解）或 無窮多（互斥或）。

示例： 由 $3\times 4$ 增廣矩陣 $${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {green}1}\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 是 不一致的，因為它在第 4 列有首個 1。

由 $4\times 4$ 增廣矩陣 $${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&0&2\\0&{\color {green}1}&0&3\\0&0&{\color {green}1}&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 具有唯一解，因為它在前 3 列中每個都有一個首個 1，但在第 4 列中沒有。

由 $3\times 4$ 增廣矩陣 $${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&3&0&2\\0&0&{\color {green}1}&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 具有無窮多解，因為它在第 4 列中沒有首個 1，並且並非所有前 3 列都包含首個 1（第 2 列不包含首個 1）。這個矩陣可以表示 SLE $${\begin{cases}x+3y=2\\z=3\\\end{cases}}$$ 如果我們令 $y=t$ 為 獨立未知數，則 $x=2-3t$ 並且 $z=3$

備註。

• 獨立未知數（或自由變數）是對應於 沒有 首個 1 的列的未知數
• 依賴未知數（或基本變數）是對應於 有 首個 1 的列的未知數

練習. 給定矩陣 $${\begin{pmatrix}1&4&5&6&8\\4&6&7&4&4\\4&2&3&6&7\\1&7&5&3&6\\\end{pmatrix}}$$ 的行階梯形為 $${\begin{pmatrix}1&0&0&0&{\frac {-31}{51}}\\0&1&0&0&{\frac {4}{3}}\\0&0&1&0&{\frac {-89}{51}}\\0&0&0&1&2\\\end{pmatrix}}.$$ 分別用 $A$, $B$ 和 $C$ 表示相應的線性方程組。

1 方程組 $A$ 有無解、有唯一解還是有無窮多解？

	無解
	有唯一解
	有無窮多解

2 方程組 $B$ 有無解、有唯一解還是有無窮多解？

	無解
	有唯一解
	有無窮多解

3 方程組 $C$ 有無解、有唯一解還是有無窮多解？

	無解
	有唯一解
	有無窮多解

定義. (齊次線性方程組) 如果一個線性方程組的形式為 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$，則稱之為 齊次 線性方程組。一個 齊次 方程組 一定 是 相容 的，因為它有一個解，其中 每個 未知數都等於 零，該解被稱為 平凡解。如果存在其他解，則被稱為 非平凡解。

注： 根據線性方程組解的個數判定命題，可知一個 齊次 線性方程組要麼有 唯一 解，要麼有 無窮多個 解，因為齊次線性方程組必然 相容，所以不存在無解的情況。

例： （齊次線性方程組的例子）SLE $${\begin{cases}x+y+z&=0\\2x+8y+3z&=0\\2x+4y+6z&=0\\\end{cases}}$$ 是 齊次 的，因此它是相容的。

事實上，表示該 SLE 的增廣矩陣的 RREF 是 $${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}},$$ 我們可以看到這個 SLE 的唯一解是 $(x,y,z)=(0,0,0)$，這就是 平凡解。

SLE $${\begin{cases}x+4y+5z&=0\\2x+3y+5z&=0\\x+2y+3z&=0\\\end{cases}}$$ 是 齊次 的，因此它是相容的。

事實上，表示該 SLE 的增廣矩陣的 RREF 是 $${\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},$$ 因此這個 SLE 有 無窮多個 解，因為前 3 列並非都包含主元，並且該矩陣的第 4 列沒有主元。

命題： （齊次線性方程組有非平凡解的充分條件）一個 齊次 的包含 $m$ 個線性方程的線性方程組，如果有 ${\color {green}m<n}$，則該方程組必有 非平凡 解。

證明。 由 $m$ 個線性方程組成的齊次方程組的增廣矩陣為 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 是 $(A|\mathbf {0} )$，因此其行最簡形式具有 $(R|\mathbf {0} )$ 的形式，其中 $R$ 的大小為 $m\times n$，因為有 $m$ 個線性方程和 $n$ 個未知數。

如果 $R$ 在其前 $n$ 列中每列都有一個主元 1，則 $R$ 中至少有 $n$ 行。然而，$R$ 只有 $m<n$ 行，矛盾。因此，齊次線性方程組沒有唯一解。

由於一個線性方程組要麼無解（對於齊次線性方程組這是不可能的），要麼有唯一解（在本例中也是不可能的），要麼有無窮多解，因此，齊次線性方程組必須有無窮多解，因此有一個非零解。

$\Box$

備註。

• 該命題沒有斷言如果一個齊次線性方程組有一個非零解，那麼線性方程的個數嚴格小於未知數的個數（該命題的逆命題）

• 例如，在上面的例子中，即使線性方程的個數等於未知數的個數，線性方程組仍然可以有一個非零解

例。 齊次線性方程組 $${\begin{cases}x+y+z=0\\2x+5y+z=0\end{cases}}$$ 必須有一個非零解。

事實上，這個線性方程組的增廣矩陣的簡化行階梯形式是： $${\begin{pmatrix}1&0&{\frac {4}{3}}&0\\0&1&-{\frac {1}{3}}&0\end{pmatrix}}.$$ 令 $z=t$ 為 獨立未知數，我們有 $x=-{\frac {4}{3}}t,y={\frac {1}{3}}t$.