噴氣推進/流體力學

單位和符號

基本單位

表 1.1：基本單位
量	名稱	符號
長度	米	m
質量	千克	kg
時間	秒	s
溫度	開爾文	K
物質的量	摩爾	mol

匯出單位

表 1.2：匯出單位
量	名稱	符號	用基本單位表示
頻率	赫茲	Hz	s-1
力	牛頓	N	m kg s-2
壓力，應力	帕斯卡	Pa	N m-2
能量，功，熱	焦耳	J	N m
功率	瓦特	W	J s-1
熱容，熵	焦耳每開爾文		J K-1
比熱容，比熵	焦耳每千克開爾文		J kg-1 K-1
比能	焦耳每千克		J kg-1
熱導率	瓦特每米開爾文		W m-1 K-1

標準大氣

表 1.3：標準大氣中的 SI 單位
屬性	符號	值
壓力，海平面	P0	101,325 Pa
溫度	T0	288.15K，15oC
重力加速度	g0	9.80665 m s-2
空氣密度	ρ0	1.225 kg m-3
運動粘度	ν0	1.46070x10-5 m2 s-1
絕對粘度	μ0	1.7894x10-5 m2 s-1
溫度遞減率，（海平面至等溫層，0-11km）		-6.5 K km-1
氣體常數	R	287.074 J kg-1 K-1
定容比熱	cV	717.986J kg-1 K-1
定壓比熱	cP	1004.76 J kg-1 K-1
比熱容比	γ	1.4
聲速，海平面	C0 (= 20.05*sqrt(T))	340.3065 m s-1

符號

表 1.5：標準符號
符號	定義
M	馬赫數
M*	速度/聲速狀態，其中 M=1.0
P	壓力
q	動壓
R	氣體常數
T	溫度
W	質量流量
WTAP	流量引數
γ	比熱容比
ρ	密度
下標/上標
0	地面
s	靜止/流線
t	總（等熵滯止）
x	在正激波前面
y	在正激波後面
*	在 M=1 時

氣體定律

內能	u = cv T
焓	h = cp T
開爾文至攝氏度	K = oC+273.15
理想氣體	P V = m R T
在恆溫下	P1/ P2 = V2/ V1
在恆壓下	V1/ V2 = T1/ T2
在恆容下	P1/ P2 = T1/ T2
可逆絕熱過程	P1V1γ=P2V2γ
	P1/ P2 = ( V2/ V1 )γ
	T1/ T2 = ( V2/ V1 )γ-1
	T2/ T2 = ( P2/ P1 )(γ-1)/γ
	P1/ P2 = ( ρ1/ ρ2 )γ
多變過程	P1V1n=P2V2n
	P1/ P2 = ( V2/ V1 )n
	T1/ T2 = ( V1/ V2 )1-n
	T1/ T2 = ( P1/ P2 )(n-1)/n;
伯努利方程	P/ρ + V2/2 + Z = 常數
穩態流動方程	q + h + V2/2 + Z = 常數
理想氣體中的聲速	$C={\sqrt {\gamma RT}}$
比熱	R = cP - cV
	γ = cP / cV
馬赫數	$M={\frac {V}{C}}$
可壓縮流動
	$M^{2}={\frac {1}{\gamma -1}}{\frac {u^{2}}{c_{P}T}}$
	${\frac {P_{t}}{P_{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}$
	${\frac {T_{t}}{T_{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]$
	${\frac {\rho _{t}}{\rho _{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}$
	${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left[{\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}{\frac {\gamma +1}{2}}}\right]^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$
	$M^{*}=M{\sqrt {\frac {\frac {\gamma +1}{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}}$
	$\theta ={\frac {T}{T_{0}}}$

絕熱過程

絕熱過程是一個熱力學過程，在這個過程中沒有熱量傳遞到工作流體或從工作流體中傳遞出去。在理想的氣體渦輪機（布雷頓迴圈）中，壓縮和膨脹過程是絕熱的。我們將θ定義為與環境條件相關的過程中壓力比。

$\theta _{2}=\left({\frac {P_{2}}{P_{0}}}\right)$

那麼，對於絕熱壓縮，溫度比τ為

$\tau _{2}={\frac {T_{2}}{T_{0}}}=\theta _{2}^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

對於空氣，γ = 1.4 ，所以(γ-1)/ γ= 0.286 。

對數對數圖簡化了快速工程計算的分析。

圖 1.3： 絕熱過程，空氣γ=1.4，在對數對數圖上

示例 1.2：絕熱過程和等壓過程

標準海平面條件下的空氣絕熱壓縮到 30 巴（0-3）；在恆定壓力下加熱到 1700K（3-4），然後絕熱膨脹回 1 巴（4-5）。最終溫度是多少，過程 3-4 中添加了多少熱量？

參見圖 1.3

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動能到流體溫度

透過壓力變化改變流體的速度會同時改變溫度。壓縮功提高了流體的表觀溫度。我們可以將馬赫數與流體的內能聯絡起來。

空氣動力學分析

空氣動力學分析試圖逐步分析空氣動力學階段的流動。實際設計包括大量的理論、計算和實驗分析。

停滯或總溫度和壓力是衡量氣體渦輪機中高速氣流能量增加所需的。使用馬赫數允許我們考慮氣體的可壓縮性。

可壓縮流體流動方程

參見 [NACA 1135：可壓縮流動的方程、表格和圖表]。

連續性

在穩定流動中，對於流線管上的任何兩個流動截面

$\rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}$

或者以微分形式表示

${\frac {d}{dx}}(\rho uA)=0$

或者

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dA}{A}}=0$

其中 $\rho$ 是流體的密度

$u$ 是流體單位質量的內能

以及

$A$ 是管道或通道的橫截面積

動量

控制體積上的淨力等於流體動量變化

dp=-ρ u du

能量

焓的變化與動能的變化保持平衡

dh + u du=0

其中 h 是單位質量的焓，u + pv，pv 是壓強和體積的乘積

焓

氣體的焓 h 在溫度 T 下為

$h=c_{p}T$

其中 $c_{p}$ 是氣體的定壓比熱容。對於空氣，$c_{p}$ 約為 1.005 kJ/kg K。

熵

過程中的熵變可以表示為

$s_{2}-s_{1}=c_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)$

或者更方便地用壓強表示

$s_{2}-s_{1}=c_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)$

滯止溫度

停滯溫度是指氣體在絕熱情況下被靜止後的溫度。將動能加入氣體的內能，我們得到關係

$h_{t}=c_{p}T_{t}=c_{p}T+{\frac {u^{2}}{2}}$

$T_{t}=T+{\frac {u^{2}}{2c_{p}}}$

其中 T_t 是流體的總（停滯）溫度。

總焓關係概括了等熵壓縮機和渦輪中的能量變化。為了給氣流增加能量，氣體透過相對減速過程，逆著壓縮機和擴散器表面，並獲得能量。為了提取能量，氣體加速，逆著噴嘴和渦輪葉片。

流體的馬赫數為

$M={\frac {u}{a}}={\frac {u}{\sqrt {\gamma RT}}}$

代入

$T_{t}=T+{\frac {\gamma RTM^{2}}{2c_{p}}}$

因為 R= c_p - c_v 且 γ = c_p / c_v

$T_{t}=T\left(1+{\frac {\gamma M^{2}}{2}}(c_{p}-c_{v})/c_{p}\right)$

${\frac {T_{t}}{T}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)$

其中 $\gamma$（希臘字母gamma）是壓力和體積之間的絕熱膨脹係數 $p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma }$

這是氣體在絕熱情況下被靜止後的溫度。

等熵停滯壓力

${\frac {p_{t}}{p}}=\left({\frac {T_{t}}{T}}\right)^{\gamma /(\gamma -1)}$

${\frac {p_{t}}{p}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\gamma /(\gamma -1)}$

等熵停滯密度

${\frac {\rho _{t}}{\rho }}=\left({\frac {T_{t}}{T}}\right)^{1/(\gamma -1)}$

${\frac {\rho _{t}}{\rho }}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{1/(\gamma -1)}$

管道流動

穩定無粘絕熱準一維流動滿足以下方程：

微分連續性方程

d (ρ u A) =0

微分動量方程

dp=-ρ u du

微分能量方程

dh + u du=0

重新整理連續性方程

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dA}{A}}=0$

重新寫動量方程

${\frac {dp}{\rho }}={\frac {dp}{d\rho }}{\frac {d\rho }{\rho }}=-udu$

${\frac {dp}{d\rho }}\equiv {\frac {\partial p}{\partial \rho }}$

聲速為

a =(dp / dρ)^1/2

重新整理並代入

a²=(dp / dρ)

a² dρ / ρ = -u du

${\frac {d\rho }{\rho }}=-{\frac {udu}{a^{2}}}=-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}{\frac {du}{u}}=-M^{2}{\frac {du}{u}}$

代入連續性方程

$M^{2}{\frac {du}{u}}-{\frac {du}{u}}-{\frac {dA}{A}}=0$

我們得到面積速度方程

${\frac {dA}{A}}=(M^{2}-1){\frac {du}{u}}$

因此，對於加速（du/u 為正），當馬赫數小於 1 時，面積必須減小；當馬赫數大於 1 時，面積必須增加。

馬赫數與管道面積之間的關係與喉部面積 A^* 相關：

${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$

溫度關係為

${\frac {T}{T_{t}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-1}$

壓力關係

${\frac {p}{p_{t}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {\gamma }{2(\gamma -1)}}}$

還有密度關係

${\frac {\rho }{\rho _{0}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {1}{2(\gamma -1)}}}$

下圖顯示了空氣在 γ 為 1.4 時這些關係。

完全膨脹的氣體當其溫度降至絕對零度時，馬赫數將趨於無窮大。

質量流量

上圖顯示了具有 γ=1.4 的流體經歷絕熱膨脹時的這種交換。當壓力降至 0.528 時，聲速（馬赫 1）實現，並且對於特定質量流量的區域在此馬赫數時最小。這種狀態下的流動被稱為阻塞，任何進一步降低管道面積都不會導致流加速。單位面積的質量流量為

${\dot {m}}=A\rho v$

${\dot {m}}=A\rho _{0}\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {1}{\gamma -1}}}V$

噴嘴

噴嘴透過沿壓力梯度膨脹將氣體的內能轉換為定向動能。

隨著氣體最初膨脹，體積增量小於速度增量，並且流束管收縮。在 M=1 時，效果平衡，對於 M>1，微分體積增量大於速度增量，需要發散流。噴嘴最窄的部分稱為“喉部”。

減小固定幾何形狀的噴嘴出口處的壓力會增加出口速度，直到噴嘴最小部分的速度變為聲速。此時噴嘴被稱為“阻塞”，進一步降低出口壓力對喉部上游的流動沒有影響。

最大出口速度取決於源氣體的能量含量。

阻塞流動

阻塞流動是指在給定初始總條件下，可以透過通道的最大流動量。邊界層效應進一步限制了真實噴嘴中的流動。

擴散器

擴散器將相對動能轉換為壓力。

理想擴散器將恢復停滯壓力，但實際擴散器無法將流體速度降低到零，並且存在損失。這種擴散器恢復的壓力為

$\pi _{d}=p_{t2}/p_{t0}$

亞音速擴散器是一個發散通道。擴散器在逆壓梯度狀態下工作，必須仔細控制邊界層發展以避免流動分離。邊界層可以透過提取或抽吸來補充能量，但這會帶來能量和複雜性的成本。

在沒有激波的情況下實現穩定的超音速擴散幾乎是不可能的，因為不穩定性會隨著流動迅速轉變為透過法向激波而迅速變為亞音速並在收斂通道中加速而迅速放大。通常採用多個傾斜激波來最大程度地減少熵的增加。

激波

激波是一個薄邊界，透過該邊界，熱傳遞和粘性加熱使流動變為亞音速。上面的等熵關係不適用於激波。穿過激波（垂直於激波表面）的總溫度保持不變，但總壓力會損失。損失取決於入射馬赫數。

正激波

激波後的馬赫數 M₂ 為

$M_{2}^{2}={\frac {1+[(\gamma -1)/2]M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-(\gamma -1)/2}}$

較高的入射馬赫數將過渡到較小的下游亞音速馬赫數。

密度和速度關係

${\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}={\frac {(\gamma +1)M_{1}^{2}}{2+(\gamma -1)M_{1}^{2}}}$

壓力關係

${\frac {p_{2}}{p_{1}}}=1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)$

以及溫度關係

${\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}=\left[1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)\right]{\frac {2+(\gamma -1)M_{1}^{2}}{(\gamma +1)M_{1}^{2}}}$