紐結理論/紐結

初步定義

讓我們從定義紐結開始。

一個紐結是指一個圓形在環境空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的光滑嵌入。最基本的紐結是平凡紐結，它本質上只是一個圓形 $\bigcirc$ （我們將在稍後正確定義它）。

一個具有 $n\in \mathbb {N}$ 個成分的鏈是指 $n$ 個不交圓形在三維空間中的光滑嵌入。因此，顯然任何紐結都可以看作一個具有一個成分的鏈。類似於平凡紐結，最基本的鏈是平凡鏈，它本質上是 $n$ 個不交圓形。我們通常將一個 $n$ -平凡連結串列示為 $\bigcirc ^{n}$ 。因此，一個 $1$ -平凡鏈是一個平凡紐結。

在本章之前，我們提到過紐結理論是對區分紐結和鏈的研究。因此，我們需要定義鏈上的等價概念，才能區分鏈。

兩個鏈在環境同倫的情況下等價。這裡，環境同倫是指存在一個同倫，它是一個光滑的微分同胚族。兩個鏈在具有相同的鏈型別的情況下被認為是相同的；因此鏈型別是鏈的等價類。類似地，紐結型別是紐結的等價類。我們在這裡包含了光滑性，因為同倫對於環境空間中的嵌入來說太弱了，因為我們可以定義從一個鏈到平凡鏈的任何連續對映。

很容易看出鏈等價實際上是一種等價關係。

現在我們可以定義 $n$ -平凡鏈，它與 $n$ 個分離圓形等價。

現在我們可以定義一個從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的投影對映，使得沒有三條邊透過同一點，並且沒有兩條邊彼此相切。然後，我們透過在邊上加斷裂來指示上下交叉。我們稱這個投影鏈為鏈圖。

定理（萊德邁斯特定理）。每個鏈都有一個鏈圖。此外，兩個鏈在且僅在它們的鏈圖透過有限個萊德邁斯特變換相關時等價。萊德邁斯特變換由三個非常標準的變換組成：RI - 扭曲，RII - 將一條線段移到另一條線段之上，RIII - 將一條線段移到交叉點之上或之下。

參考文獻

Queen, M., On the Jones Polynomial: A Monica Queen Thesis, arXiv:2108.13835, 2021.