控制中的 LMI / 應用 / 直升機內環 LMI

控制中的 LMI / 應用 / 直升機內環 LMI

這是一個直升機內環 LMI。 最佳化方法和最優控制在旋翼機控制律社群中難以獲得認可。 然而，這在參考論文中推導的 LMI 試圖透過用於魯棒最優控制的 LMI 來解決這些問題。

系統

連續時間

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&={\hat {A}}x(t)+B_{1}w(t)+{\hat {B_{2}}}u(t),\\z(t)&=C_{1}x(t)+D_{12}u(t)\\\end{aligned}}$

直升機模型由穩定性和控制導數給出，它們填充了上述動態方程中 ${\hat {A}},{\hat {B_{2}}}$ 矩陣的元素。

狀態向量由剛性 6 自由度模型的典型元素給出。 $x={\begin{bmatrix}u,w,q,\theta ,v,p,\psi ,r\end{bmatrix}}^{T}$。 輸入向量由 $u={\begin{bmatrix}\delta _{0},\delta _{1s},\delta _{1c},\delta _{T}\end{bmatrix}}^{T}$ 給出，它與主旋翼總距、縱向/橫向迴圈以及尾旋翼總距葉片角（以弧度計）有關。

陣風擾動用 $w(t)$ 表示，並假設其本質上是隨機的。 穩定性和控制導數矩陣建模為不確定性，如下所示

${\begin{aligned}{\hat {A}}=A+\Delta A,{\hat {B_{2}}}=B_{2}+\Delta B\\\end{aligned}}$

該 $\Delta$ 項表示直升機系統模型中的不確定性。

資料

此 LMI 所需的資料是穩定性和控制導數，這些導數填充了上述系統的 A 和 B 矩陣，可以從線性化非線性模型中獲得。 它也可以從實驗方法中獲得，例如階躍響應和掃頻正弦波（系統辨識）。

控制架構

使用狀態反饋控制律為上述直升機模型的內環設計了一種控制架構。

$u=Kx(t)$

內環控制的目標是設計一個完整的狀態反饋律，使得閉環直升機系統滿足以下 3 個性能指標。

最佳化問題

目標 1：閉環系統對於任何允許的不確定性都是內部穩定的。

目標 2：閉環系統的極點位於圓盤 $D(-q,r)$ 內，該圓盤的中心為 $-q+j_{0}$，半徑為 $r,q>r>0$，對於任何可接受的不確定性。

目標 3：給定陣風擾動抑制指數 $\gamma$，對於任何可接受的不確定性，陣風擾動對選定飛行狀態和控制輸入的影響都在給定範圍內，即

$\int _{0}^{\infty }\!\{x^{T}(t)Qx(t)+u^{T}(t)Ru(t)\}\ \mathrm {d} x<\gamma ^{2}\int _{0}^{\infty }\!w(t)^{T}w(t)\,\mathrm {d} t.$

其中 $w(t)\in L_{2}(0,\infty ).$ $Q$ 和 $R$ 是具有適當維度的加權矩陣，且 $Q=Q^{T}\geq 0,R=R^{T}>0.$

可以證明，如果下一節中描述的 LMI 成立，則可以使用狀態反饋控制律來滿足目標 1-3 中列出的內環效能指標。

• 目標：上述目標
• 變數：控制器增益
• 約束：旋翼飛行器動力學和建模的執行機構限制

LMI：H-無窮內環 D-穩定最佳化

本文推導了以下形式的 LMI，並斷言如果存在一個常數 $\epsilon$，一個具有適當維度的矩陣 $Z$ 和一個對稱正定矩陣 $P$，使得

${\begin{aligned}\\{\begin{bmatrix}\Psi _{11}&B_{1}&XC_{1}^{T}+Z^{T}D_{1}2^{T}&A_{\alpha }X_{+}B_{2}Z&XF_{1}^{T}+Z^{T}F_{2}^{T}&\epsilon H\\B_{1}^{T}&-\gamma ^{2}I&0&0&0&0\\C_{1}X+D_{12}Z&0&-I&0&0&0\\XA_{\alpha }^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}&0&0&-rX&XF_{1}^{T}+Z^{T}F_{2}^{T}&0\\F_{1}X+F_{2}Z&0&0&F_{1}X+F_{2}Z&-\epsilon I&0\\\epsilon H^{T}&0&0&0&0&-\epsilon I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

其中，$\Psi _{11}=A_{\alpha }X+XA_{\alpha }^{T}+B_{2}Z+Z^{T}B_{2}^{T},A_{\alpha }=A+\alpha I$

這個LMI被證明滿足目標1、2、3，控制律由以下公式給出：

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\K=ZX^{-1}\end{aligned}}$

結論

直升機內環控制設計的LMI提供了一種基於最佳化的方法來實現ADS-33E的1級操控品質。這是一種解決非常困難問題的新方法，通常採用經典控制方法，並進行大量的模擬飛行和飛行試驗。

實現

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相關LMI

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• Optimal_Output_Feedback_Hinf_LMI

外部連結

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - 馬特·皮特的LMI控制課程。
• [1] - 基於魯棒H∞ D-穩定化和PI跟蹤配置的無人直升機多模飛行控制