控制中的 LMI/應用/空間交會問題和 LMI 方法

這是一個空間交會問題和 LMI 方法

在他們的書《控制系統中的 LMI：分析、設計和應用》的第 12.4 節中，段和於討論了空間交會問題以及如何將其表述為 LMI 問題。對空間交會的建模和模擬非常重要，因為它用於任何往返地球軌道空間站的貨運或載人航天器，也用於衛星維修老化的在軌衛星，以及潛在的開採小行星的任務。

系統

雖然段和於在他們書中的例子 7.14 中首次提到了空間交會。在這個例子中，他們表明航天器交會的相對軌道動力學模型可以用著名的克羅西-威爾特希爾方程來描述。

{\begin{aligned}m{\ddot {r_{x}}}-2m\omega _{0}{\dot {r_{y}}}-3m\omega _{0}^{2}r_{x}&=T_{x}+d_{x}\\m{\ddot {r_{y}}}+2m\omega _{0}{\dot {r_{x}}}&=T_{y}+d_{y}\\m{\ddot {r_{z}}}+m\omega _{0}^{2}r_{z}&=T_{z}+d_{z}\\\end{aligned}}

在哪裡

C-W 方程給出了追趕者在以目標為中心的座標系中的運動的一階近似，並且經常用於規劃空間交會問題（國際空間站、禮炮號和天宮號空間站只是一些例子。）

透過對狀態和變數的適當定義，空間交會的運動動力學方程可以轉換為標準狀態空間形式，以便進行 LMI 最佳化，如下所示

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\y&=Cx\\\end{aligned}}

其中上述狀態空間表示中的向量定義如下

{\begin{aligned}x={\begin{bmatrix}r_{x}&r_{y}&r_{z}&{\dot {r_{x}}}&{\dot {r_{y}}}&{\dot {r_{z}}}\\\end{bmatrix}}^{T}\\\\y={\begin{bmatrix}r_{z}&r_{y}&r_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\\u={\begin{bmatrix}T_{x}&T_{y}&T_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\\d={\begin{bmatrix}d_{x}&d_{y}&d_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\end{aligned}}

以及上述狀態空間表示中的矩陣定義如下：

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\3\omega _{0}^{2}&0&0&0&2\omega _{0}^{2}&0\\0&0&0&-2\omega _{0}&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}&0&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0_{3x3}\\I_{3}\\\end{bmatrix}}\\\\C={\begin{bmatrix}I_{3}&0_{3x3}\\\end{bmatrix}}\\\\\end{aligned}}

所需資料包括空間交會目標飛行器和追趕飛行器的質量特性。還需要目標飛行器和追趕飛行器的軌道角速度以及兩者之間相對運動學的測量值。

最佳化問題試圖使用H-inf或H2範數來衰減擾動到輸出傳遞函式。

空間交會問題可以使用H-inf或H-2最佳化公式來解決。兩種公式都可以實現閉環穩定性，確保交會發生，因為目標飛行器和追趕飛行器之間的相對距離最終會接近於零。H-inf和H2最佳化問題的LMI如下所示，由於空間交會問題的矩陣以上已以標準形式給出，因此很容易求解。

Duan和Yu採用 $H_{\infty }$ 方法。透過求解以下LMI最佳化問題，可以找到從擾動到輸出的最小衰減水平。

{\begin{aligned}\\&min\gamma _{\infty }\\\\&{\text{s.t. }}X>0\\\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

這與 Duan 和 Yu 的書中定理 8.1 相同，是 $H_{\infty }$ 問題的解。

用於空間交會的 LMI 是一種有用且有趣的方法，可以用來對航天器工程中的實際問題進行建模和模擬。空間交會通常需要非常好的視覺導航，或者需要一名經驗豐富的操作員來彌合兩個對接介面卡最終對接的差距。

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記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。