控制中的 LMI / 有界實部引理

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

最佳化問題：給定一個狀態空間系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

其中 A 為穩定且 A $\in \mathbb {R} ^{n*n}$ , B $\in \mathbb {R} ^{n*p}$ ,C $\in \mathbb {R} ^{p*n}$ 和 D $\in \mathbb {R} ^{p*p}$ 以及 (A,B,C) 為最小，則存在 P=P^T $\in \mathbb {R} ^{n*n}$ 可用於使用下面提到的 LMI 解決有界實部引理問題。

LMI：有界實部引理

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+C^{T}C&&PB+C^{T}D\\B^{T}P+D^{T}C&&D^{T}D-I\end{bmatrix}}&<0\\P&>0\\\end{aligned}}

當且僅當狀態空間是非膨脹的時，LMI 可行。 $\int _{0}^{T}y(t)^{T}y(t)dt$ < $\int _{0}^{T}u(t)^{T}u(t)dt$ 對於狀態空間的所有解，其中 x(0) = 0，此條件也可以用傳遞矩陣 H 來表示。非膨脹性等效於傳遞矩陣 H 滿足有界實部條件， $H(s)*H(s)<=I$ 對於所有 $Res>0$

結論

當且僅當哈密頓矩陣 M 沒有虛數特徵值時，LMI 可行。

實現

一個指向 CodeOcean 或其他 LMI 線上實現的連結（正在進行中）

參考文獻

1. 斯蒂芬·博伊德、勞倫特·埃爾·加烏伊、埃裡克·費隆和文卡塔拉曼·巴拉克斯里南的《系統與控制理論中的線性矩陣不等式》第 2.7.3 節
* 系統與控制理論中的 LMI