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切比雪夫多項式

所需資料

一個希望獲取SOSINEQ範圍規格的單變數多項式

問題

設 $p_{n}(x)$ 是一個度數為 $n,with\gamma$ 的單變數多項式，其中 $\gamma$ 是 $x^{n}$ 的係數。

$\max _{\gamma }\gamma$，受以下約束
$|p_{n}(x)|\leq 1,\forall x\in [-1,1]$.

公式

絕對值約束可以使用兩個不等式輕鬆地重寫，即

${\begin{aligned}1+p_{n}(x)\geq 0\\1-p_{n}(x)\geq 0,\\\forall x\in [-1,1]\end{aligned}}$.

解決

最優解為 $\gamma ^{*}=2^{n-1}$，其中 $p_{n}^{*}(x)=arccos(cosnx)$ 是第一類 n 次切比雪夫多項式。

示例

SOStools 中的程式碼示例可能很有用！

參考資料

SOS 工具手冊：https://sums-of-squares.github.io/sos/

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