控制中的LMI / 點選此處繼續 / 積分二次約束 / 頻域

系統

我們將考慮以下反饋互連 $S(G,\Delta )$

{\begin{cases}v=Gu+f,\\u=\Delta (v)+r\end{cases}}

其中 $r$ 和 $f$ 是外源輸入。 $G$ 和 $\Delta$ 是兩個因果運算元。

問題

令 $\Pi :j\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ 是一個可測量的厄米特值函式， $G\in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$ 且 $\Delta$ 是一個有界的因果運算元。 $\exists \epsilon >0$ 使得

${\begin{bmatrix}G(j\omega )\\I\end{bmatrix}}^{*}\Pi (j\omega ){\begin{bmatrix}G(j\omega )\\I\end{bmatrix}}\leq -\epsilon I\qquad \forall \omega \in \mathbb {R}$

那麼， $G$ 和 $\Delta$ 的反饋互連是穩定的。

資料

$G$ 是一個具有狀態空間實現的線性時不變系統

{\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+Bu\\y=Cx+Du\end{cases}}

其中 $x$ 是狀態。

任何 $\Pi \in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$ 可以分解為 $\Pi =\Psi ^{*}M\Psi$ ，其中 $M=M^{T}$ 和 $\Psi \in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$ 。將 $\Psi$ 的狀態空間實現表示為 $(A_{\psi },[B_{\psi 1},B_{\psi 2}],C_{\psi },[D_{\psi 1},D_{\psi 2}])$ .

系統 $\Psi {\begin{bmatrix}G\\I\end{bmatrix}}$ 的狀態空間實現為 $({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}}):=\left({\begin{bmatrix}A&0\\B_{\psi 1}C&A_{\psi }\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B\\B_{\psi 2}+B_{\psi 1}D\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}D_{\psi 1}C&C_{\psi }\end{bmatrix}},D_{\psi 2}+D_{\psi 1}D\right)$