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符號

與子空間相關的符號

$\mathbb {R}$	所有實數的集合
$\mathbb {R} ^{+}$	所有正實數的集合
$\mathbb {R} ^{-}$	所有負實數的集合
$\mathbb {C}$	所有複數的集合
$\mathbb {C} ^{+}$	右半複平面
$\mathbb {C} ^{-}$	左半複平面
$\mathbb {R} ^{n}$	所有維度為$n$的實向量的集合
$\mathbb {C} ^{n}$	所有維度為$n$$n$的復向量的集合
$\mathbb {R} ^{m\times n}$	所有維度為$m\times n$的實矩陣的集合
$\mathbb {C} ^{m\times n}$	所有維度為$m\times n$的復矩陣的集合
$\mathbb {R} _{r}^{m\times n}$	秩為$r$的$m\times n$實矩陣的集合
$\mathbb {C} _{r}^{m\times n}$	秩為$r$ 的$m\times n$ 複數矩陣的集合
${\bar {\mathbb {C} }}^{+}$	閉右半複平面，${\bar {\mathbb {C} }}^{+}=\{s|s\in \mathbb {C} ,Re(s)\leq 0\}$
ker$(T)$	變換或矩陣$T$ 的核
Image$(T)$	變換或矩陣$T$ 的像
conv$(\mathbb {F} )$	集合$\mathbb {F}$ 的凸包
$\mathbb {S} ^{n}$	在$\mathbb {R} ^{n\times n},\mathbb {S} ^{n}=\{M|M=M^{T},M\in \mathbb {R} ^{n\times n}\}$ 中的對稱矩陣的集合
$\mathbb {F} _{B}$	集合$\mathbb {F}$ 的邊界集
$\mathbb {F} _{E}$	集合$\mathbb {F}$ 的所有極點的集合

與向量和矩陣相關的符號

$0_{n}$	在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的零向量
$0_{m\times n}$	在 $\mathbb {R} ^{m\times n}$ 中的零矩陣
$I_{n}$	階數為 $n$ 的單位矩陣
$A^{-1}$	矩陣 $A$ 的逆矩陣
$A^{T}$	矩陣 $A$ 的轉置
${}^{-}A$	矩陣 $A$ 的複共軛
$A^{H}$	矩陣 $A$ 的轉置複共軛
Re($A$)	矩陣 $A$ 的實部
Im($A$)	矩陣 $A$ 的虛部
det($A$)	矩陣 $A$ 的行列式
Adj$A$)	矩陣 $A$ 的伴隨矩陣
trace($A$)	矩陣$A$的跡
秩($A$)	矩陣$A$的秩
$\kappa (A)$	矩陣$A$的條件數
$\rho (A)$	矩陣$A$的譜半徑
$A>0$	$A$是埃爾米特（對稱）正定矩陣
$A\geq 0$	$A$是埃爾米特（對稱）半正定矩陣
$A>B$	$A-B>0$
$A\geq B$	$A-B\geq 0$
$A<0$	$A$是埃爾米特（對稱）負定矩陣
$A\geq 0$	$A$是埃爾米特（對稱）半負定矩陣
$A<B$	$A-B<0$
$A^{\frac {1}{2}}$	$A-B\leq 0$
$A^{\frac {1}{2}}$	矩陣 $Z$ 滿足 $Z^{T}Z=A>0$
$\lambda (A)$	矩陣 $A$ 的所有特徵值集合
$\lambda _{i}(A)$	矩陣 $A$ 的第 $i$ 個特徵值
$\lambda _{max}(A)$	矩陣 $A$ 的最大特徵值
$\lambda _{min}(A)$	矩陣 $A$ 的最小特徵值
$\sigma _{i}(A)$	矩陣 $A$ 的第 $i$ 個奇異值
$\sigma _{max}(A)$	矩陣 $A$ 的最大奇異值
$\sigma _{min}(A)$	矩陣 $A$ 的最小奇異值
$\langle A\rangle _{s}$	矩陣 $A$ 的和及其轉置，$\langle A\rangle _{s}=A+A^{T}$
$\left\Vert A\right\|_{2}$	矩陣 $A$ 的譜範數
$\left\Vert A\right\|_{F}$	矩陣 $A$ 的弗羅貝尼烏斯範數
$\left\Vert A\right\|_{1}$	矩陣 $A$ 的行和範數
$\left\Vert A\right\|_{\infty }$	矩陣 $A$ 的列和範數

示例

考慮方陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$。 $A$ 的特徵值為 $\lambda _{i}(A),i=1,2,...,n$。如果矩陣 A 的所有特徵值都位於複平面的開左半平面（即 Re $\lambda _{i}(A),i=1,2,...,n$ <)，則該矩陣為 Hurwitz 矩陣。如果矩陣的所有特徵值都嚴格位於以複平面原點為中心的單位圓內（即 $|\lambda _{i}(A)|<1,i=1,...,n)$，則該矩陣為 Schur 矩陣。如果 $A\in \mathbb {S} ^{n}$，則 A 的最小特徵值表示為 $\lambda (A)$，最大特徵值表示為 ${\bar {\lambda }}(A)$。

考慮矩陣 B $\in \mathbb {R} ^{n\times m}$。 B 的最小奇異值為 ${\underline {\sigma }}$ (B)，最大奇異值為 ${\bar {\sigma }}$(B)。B 的值域和零空間分別表示為 $\mathbb {R}$(B) 和 $\mathbb {N}$(B)。B 的 Frobenius 範數為 ||B|| = ${\sqrt {tr(B^{H}B)}}$。

連續時間線性時不變（LTI）系統的狀態空間實現

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t),$.
在本檔案中通常簡稱為 (A, B,C,D)。在連續時間狀態空間實現中，通常省略時間引數，除非需要避免歧義。離散時間 LTI 系統的狀態空間實現

$x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k},$

$y_{k}=C_{d}x_{k}+D_{d}u_{k},$

通常可以簡寫為$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$.

LTI 系統${\mathcal {G}}$ 的 ${\mathcal {H}}$∞ 範數用 ||${\mathcal {G}}$||∞ 表示，而${\mathcal {G}}$ 的 ${\mathcal {H}}_{2}$ 範數用 ||${\mathcal {G}}$||$_{2}$ 表示。

連續時間訊號的內積空間${\mathcal {L}}_{2}and{\mathcal {L}}_{2e}$ 定義如下。

$\{{\mathcal {L}}_{2}\}=\left\{x:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2}^{2}=\int _{0}^{\infty }x^{T}(t)x(t)dt<\infty \right\},$

$\{{\mathcal {L}}_{2e}\}=\left\{x:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2T}^{2}=\int _{0}^{T}x^{T}(t)x(t)dt<\infty ,\forall T\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}.$

離散時間訊號的內積序列空間 ℓ2 和 ℓ2e 定義如下。
$\{{\mathcal {l}}_{2}\}=\left\{x:\mathbb {Z} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }x_{k}^{T}x_{k}<\infty ,\right\}.$
$\{{\mathcal {l}}_{2e}\}=\left\{x:\mathbb {Z} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2N}^{2}=\sum _{k=0}^{N}x_{k}^{T}x_{k}<\infty ,\forall N\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}.$

參考文獻

• 控制系統中的LMI：分析、設計和應用 - 作者：段廣仁和於海華，CRC出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013年
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 由Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI清單。
• 系統和控制理論中的LMI - 由Stephen Boyd編寫的關於LMI的可下載書籍。