控制中的 LMI / 點選此處繼續 / 觀測器綜合 / 全階狀態觀測器

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全階狀態觀測器

構造一個簡單的全階狀態觀測器的問題直接來自於 Hurwitz 可檢測性 LMI 的結果，它本質上是 Hurwitz 可穩定性的對偶。如果 Hurwitz 可檢測性的第一個 LMI 存在可行解，那麼我們可以利用這些結果反推出一個全狀態觀測器 $L$ 使 $A+LC$ 為 Hurwitz 穩定。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

資料

• 矩陣 $A,B,C,D$ 是適當維度的系統矩陣，已知。

最佳化問題

全階狀態觀測器問題的本質是找到一個正定的 $P$ 使以下 LMI 結論成立。

LMI

1）當且僅當存在一個對稱正定矩陣 $P$ 和一個矩陣 $W$ 滿足

• $A^{T}P+PA+W^{T}C+C^{T}W<0.$

那麼觀測器可以得到為 $L=P^{-1}W$
2) 全狀態狀態觀測器存在的充分必要條件是存在對稱正定矩陣 $P$ 滿足以下矩陣不等式

• $A^{T}P+PA-C^{T}C<0$
  

在這種情況下，觀測器可以重建為 $L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}C^{T}$。可以看出，第二個關係可以透過將 $W=-{\frac {1}{2}}C^{T}$ 代入第一個條件直接得到。

結論

因此，上述兩個 LMI 都導致了一個全階觀測器 $L$，使得 $A+LC$ 是 Hurwitz 穩定的。

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 控制系統分析、設計和應用中的 LMI - Duan 和 Yu
• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。