控制中的LMI/點選此處繼續/觀測器綜合/降階狀態觀測器

控制中的LMI/點選此處繼續/觀測器綜合/降階狀態觀測器

降階狀態觀測器

降階狀態觀測器設計正規化自然地源於全階狀態觀測器設計。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

資料

• 矩陣 $A,B,C,D$ 是適當維度的系統矩陣，已知。

問題陳述

給定一個如上所述的系統的狀態空間表示。首先，選擇一個任意矩陣 $R\in \mathbb {R} ^{(n-m)xn}$，使得如下給出的垂直增廣矩陣

${\begin{aligned}T={\begin{bmatrix}C\\R\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

是非奇異的，那麼

${\begin{aligned}CT^{-1}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

此外，令

${\begin{aligned}TAT^{-1}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{bmatrix}},A_{11}\in \mathbb {R} ^{mxm}\end{aligned}}$

那麼矩陣對$(A_{22},A_{12})$ 可檢測當且僅當 $(A,C)$ 可檢測，然後令

${\begin{aligned}Tx={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}},TB={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

那麼可以得到如下形式的新系統

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\end{bmatrix}}u,y=x_{1}\end{aligned}}$

一旦得到$x_{2}$ 的估計，則可以得到完整的狀態估計

${\begin{aligned}{\hat {x}}=T^{-1}{\begin{bmatrix}y\\{\hat {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

則可以得到如下形式的降階觀測器。

${\begin{aligned}{\dot {z}}&=Fz+Gy+Hu,\\{\hat {x}}_{2}&=Mz+Ny\\\end{aligned}}$

使得對於任意控制和任意初始系統值，都有

${\begin{aligned}lim_{t\to \infty }(x_{2}-{\hat {x}}_{2})=0\end{aligned}}$

$F,G,H,M,N$ 的值可以透過求解以下 LMI 獲得。

LMI

降階觀測器存在當且僅當以下兩個條件之一成立。

1) 存在一個對稱正定矩陣 $P$ 和一個矩陣 $W$ 滿足以下條件：

• $A_{22}^{T}P+PA_{22}+W_{12}^{A}+A_{12}^{T}W<0.$

則 $L=P^{-1}W$
2) 存在一個對稱正定矩陣 $P$ 滿足以下矩陣不等式：

• $A_{22}^{T}P+PA_{22}-A_{12}^{T}A_{12}<0$
  

則 $L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}A_{12}^{T}$.

利用該 $L$ 的值，我們可以重構觀察器狀態矩陣為：

${\begin{aligned}F=A_{22}+LA{12},G=(A_{21}+LA_{11})-(A_{22}+LA_{12})L,H=B_{2}+LB_{1},M=I,N=-L,\end{aligned}}$

結論

因此，我們可以使用一個降階觀測器來根據上述問題公式中給出的方程恢復完整狀態資訊。

外部連結

以下是一些記錄和驗證 LMI 的參考文獻：

• 控制系統分析、設計與應用中的 LMI - Duan 和 Yu
• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 編著的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編著的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編著的關於 LMI 的可下載書籍。