控制中的 LMI / 離散時間 / 離散時間 TDS 的穩定性條件

本頁介紹了一個用於分析具有時變延遲的離散時間系統的 LMI。特別是，提供了一個依賴延遲的條件，透過 LMI 的可行性來測試離散時滯系統的漸近穩定性。所考慮的系統涉及單個離散延遲，延遲的大小在任何時間都受某個已知值的限制。針對此限制的不同值求解 LMI，可以獲得系統保持漸近穩定的延遲限制。

系統

所考慮的系統是以下形式的系統

{\begin{aligned}x(k+1)&=Ax(k)+A_{1}x(k-\tau _{k})&k&\in \mathbb {Z} _{+},&\tau _{k}&\in \mathbb {N} ,&0&\leq \tau _{k}\leq h\end{aligned}}

在此描述中， $A$ 和 $A_{1}$ 是 $\mathbb {R} ^{n\times n}$ 中的矩陣。變數 $\tau _{k}$ 表示離散時間 $k$ 時的狀態延遲，假設其值不超過某個 $h\in \mathbb {Z} _{+}$ 。

為了確定系統的穩定性，必須知道以下引數

${\begin{aligned}A&\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\A_{1}&\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\h&\in \mathbb {Z} _{+}\end{aligned}}$

根據提供的資料，可以透過測試以下 LMI 的可行性來確定漸近穩定性。

{\begin{aligned}&{\text{Find}}:\\&\qquad P,S,R,S_{12},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\&{\text{such that:}}\\&\qquad P>0,\quad S>0,\quad R>0,\\&\qquad {\begin{bmatrix}\Phi _{11}&\Phi _{12}&S_{12}&R-S_{12}+P_{2}^{T}A_{1}\\*&\Phi _{22}&0&P_{3}^{T}A_{1}\\*&*&-(S+R)&R-S_{12}^{T}\\*&*&*&-2R+S_{12}+S_{12}^{T}\end{bmatrix}}<0\\&{\text{where:}}\\&\qquad \Phi _{11}=(A^{T}-I)P_{2}+P_{2}^{T}(A-I)+S-R\\&\qquad \Phi _{12}=P-P_{2}^{T}+(A^{T}-I)P_{3}\\&\qquad \Phi _{22}=-P_{3}-P_{3}^{T}+P+h^{2}R\end{aligned}}

在該符號中， $*$ 用於表示合適的矩陣以確保整個矩陣是對稱的。

如果給出的 LMI 可行，則系統在區間 $[0,h]$ 內的任何延遲序列 $\tau _{k}$ 都會漸近穩定。也就是說，無論延遲值 $\tau _{k}\in [0,h]$ 在任何時間如何變化。

\|x(0)\|<\delta \quad \Rightarrow \quad \|x(k)\|<\epsilon \qquad \forall k\in \mathbb {N}

透過獲得 LMI 的可行點，可以使用 Lyapunov-Krasovkii 函式來證明該結果。

{\begin{aligned}&V(x_{k})=V_{P}(k)+V_{S}(k)+V_{R}(k)\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}&V_{P}(k)=x^{T}(k)Px(k),\\&V_{S}(k)=\sum _{j=k-h}^{k-1}x^{T}(j)Sx(j),\\&V_{R}(k)=h\sum _{m=-h}^{-1}\sum _{j=k+m}^{k-1}[x(j+1)-x(j)]^{T}R[x(j+1)-x(j)]\\\end{aligned}}

以下網站提供了此 LMI 在 Matlab 中實現的示例

注意，此實現需要 YALMIP 包和 mosek 求解器，但也可以實現其他求解器。

所呈現的結果來自

有關控制理論中 LMI 的更多資訊，可以從以下資源獲得