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離散時間李雅普諾夫穩定性

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作，併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性的又是時不變的類別稱為離散時間LTI系統。

可以透過求解李雅普諾夫不等式來確定DT LTI系統的穩定性。

系統

離散時間系統

${\begin{aligned}x(t)_{k+1}&=A_{d}x(t)_{k},&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $A_{d},P$.

最佳化問題

以下可行性問題應該被最佳化

找到滿足LMI約束的P。

LMI

離散時間有界實部引理

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {\bf {{S^{n}}\;}}\\{\text{Find}}\;&P>0,\\{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

結論

如果存在一個 $P\in {\bf {S^{n}}}$ 滿足LMI，那麼 $|\lambda _{i}(A_{d})|\leq 1,\forall i=1,2,...,n;$ 且系統的平衡點 ${\bar {x}}=0$ 是李雅普諾夫穩定的。

實現

指向CodeOcean或LMI其他線上實現的連結
MATLAB 程式碼

相關LMI

連續時間Lyapunov不等式 - Lyapunov不等式

外部連結

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 由Matthew Peet教授開設的關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 由Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - 由Stephen Boyd編寫的關於LMI的可下載書籍。