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H-無窮範數推導LMI

儘管KYP引理，也稱為有界實引理，是評估H_∞上限的基本條件，但可以透過推匯出的條件來驗證系統H_∞增益的上限。

系統

如下所示給出了線性系統的狀態空間表示

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bw(t)\\y(t)&=Cx(t)+Dw(t)\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別為系統狀態、輸出和擾動向量。此類系統的傳遞函式可以評估為

{\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}

需要知道狀態數n、輸出數m和外部噪聲通道數r。此外，還需要知道系統矩陣A、B、C、D。

對於任意 $\gamma$ ，傳遞函式G(s)滿足

\left\|G(s)\right\|_{\infty }<\gamma

當且僅當存在一個對稱矩陣X > 0和一個矩陣 $\Omega .$ 使得

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;X,\Omega :&\\\Theta +\Phi ^{\top }\Omega \Psi +\Psi ^{\top }\Omega ^{\top }\Phi <0\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}\Theta &={\begin{bmatrix}0&X&0&0&0\\X&-X&0&0&0\\0&0&-\gamma I_{m}&0&0\\0&0&0&-X&0\\0&0&0&0&\gamma I_{r}\end{bmatrix}}\\\Phi &={\begin{bmatrix}-I_{n}&A^{\top }&C^{\top }&I_{n}&0\\0&B^{\top }&D^{\top }&0&-\gamma I_{r}\end{bmatrix}}\\\Psi &={\begin{bmatrix}I_{n}&0&0&0&0\\0&0&0&0&I_{r}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

上述LMI可以與二分法結合，找到最小的 $\gamma$ ，從而找到 $G(s)$ 的H_∞增益的最小上界。

如果上述LMI存在可行解，那麼 $\gamma$ 對系統G(s)的無窮範數進行上界估計。

為了解決可行性LMI問題，需要使用YALMIP工具箱來建立可行性問題，並使用SeDuMi來求解問題。以下連結展示了一個可行性問題的示例

記錄和驗證LMI的一系列參考文獻。