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時滯系統的穩定性 - 依賴於延遲的情況

假設，例如，有一個系統引入了時滯。在這種情況下，穩定必須以不同的方式進行。以下示例演示瞭如何在依賴於延遲的情況下穩定此類系統。

系統

對於這個問題，假設我們獲得了以下形式的時滯系統：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}(t-d)+Bu(t),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0

其中

{\begin{aligned}&A{\text{, }}{A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{, }}{B}\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ are the system coefficient matrices,}}\\&\phi (t){\text{ is the initial condition,}}\\&d{\text{ represents the time-delay, and}}\\&{\bar {d}}{\text{ is a known upper-bound of }}d\\\end{aligned}}

然後，可以按照下面描述的步驟，獲得用於確定依賴於延遲的時滯系統的 LMI。

為了獲得 LMI，我們需要以下三個矩陣： $A{\text{, }}{A_{d}}{\text{, and }}B$ .

假設 - 對於上面給定的時滯系統 - 我們被要求設計一個無記憶反饋控制律，其中 $u(t)=Kx(t)$ 使得閉環系統

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=(A+BK)x(t)+A_{d}(t-d),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

同時具有均勻穩定性和漸進穩定性，則系統可以按以下方式穩定。

從給定的資訊可以看出，只有當存在一個標量 $0<\beta <1$ ，一個對稱矩陣 $X>0$ 和一個矩陣 $W$ ，才能滿足以下條件：

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\Phi (X,W)&&{\bar {d}}(X{A^{T}}+{W^{T}}{B^{T}})&&{\bar {d}}X{A_{d}^{T}}\\{\bar {d}}(AX+BW)&&-{\bar {d}}{\beta }I&&0\\{\bar {d}}{A_{d}}X&&0&&-{\bar {d}}(1-\beta )I\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}

其中 $\Phi (X,W)=X{(A+{A_{d}})^{T}}+(A+{A_{d}})X+BW+{W^{T}}{B^{T}}+{\bar {d}}{A_{d}}{A_{d}^{T}}$

給定所得到的穩定控制增益矩陣 $K=WX^{-1}$ ，可以觀察到該矩陣是從推匯出該增益矩陣的時滯系統中漸進穩定的。

示例程式碼 - 一個GitHub連結，包含程式碼（名為“DelayDependentTimeDelay.m”），演示瞭如何使用MATLAB-YALMIP來實現該LMI。

一個記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。