控制中的LMI/頁面/延遲無關時滯鎮定

時滯系統的鎮定 - 延遲無關情況

例如，假設存在一個引入時滯的系統。在這種情況下，必須以不同的方式進行鎮定。以下示例演示瞭如何獨立於延遲穩定此類系統。

系統

對於這個問題，假設我們得到以下形式的時滯系統：

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}(t-d)+Bu(t),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}&A\,A_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{nxr}{\text{ 是系統係數矩陣，}}\\&\phi (t){\text{ 是初始條件，}}\\&d{\text{ 表示時滯，以及}}\\&{\bar {d}}{\text{ 是 }}d{\text{ 的已知上界}}\\\end{aligned}}

然後，將根據下面所述獲得用於確定延遲無關情況下的時滯系統的LMI。

為了獲得LMI，我們需要以下3個矩陣： $A,A_{d},$ 和 $B$ 。

假設 - 對於上面給定的時滯系統 - 我們被要求設計一個無記憶狀態反饋控制律，其中 $u=Kx$ 使得閉環系統

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=(A+BK)x(t)+A_{d}(t-d),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

同時是均勻的和漸近穩定的，則系統將按如下方式穩定。

根據給定的資訊，最佳化問題只有在存在矩陣 $W\in \mathbb {R} ^{r\times n}$ 和兩個對稱矩陣 $X>0$ 和 $Y>0$ 滿足以下條件時才存在。

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X{A^{T}}+AX+BW+{W^{T}}{B^{T}}+Y&&{A_{d}}X\\X{A_{d}}^{T}&&-Y\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}

給定得到的反饋增益矩陣 $K=WX^{-1}$ ，可以觀察到該矩陣是漸近穩定的，同時確保該解與匯出該增益矩陣的時滯系統中的時滯無關。

示例程式碼 - 一個GitHub連結，其中包含程式碼（名為“DelayIndependentTimeDelay.m”），演示瞭如何使用MATLAB-YALMIP實現此LMI。

記錄和驗證LMI的一系列參考文獻。