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離散時間可檢測性

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統的類別既是線性的又是時不變的，稱為離散時間 LTI 系統。

離散時間 LTI 系統可以使用觀察器增益 L 來實現可檢測性，該增益 L 可以使用 LMI 最佳化來找到，使得閉環系統可檢測。

系統

具有狀態空間實現的離散時間 LTI 系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

最佳化問題

應最佳化以下可行性問題

在遵守 LMI 約束的情況下最大化 P。
然後找到 L。

LMI

離散時間可檢測性

LMI 公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}^{T}P+C_{d}^{T}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\L=P^{-1}W\end{aligned}}$

結論

系統可檢測，當且僅當存在一個 $P$，使得 $P>0$。矩陣 $A_{d}+LC_{d}$ 是舒爾，其中 $L=P^{-1}W$

實施

一個指向 CodeOcean 或其他線上實現 LMI 的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間可檢測性

外部連結

一個記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• LMI 方法在最優和魯棒控制中的應用 - 馬修·皮特關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯關於 LMI 的列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。