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可檢測性 LMI

可檢測性是可觀測性的一個較弱的版本。如果系統的所有不穩定模式都是可觀測的，則該系統是可檢測的，而可觀測性要求所有模式都是可觀測的。這意味著如果一個系統是可觀測的，它也一定是可檢測的。確定對$(A,C)$的可檢測性，LMI 條件如下所示。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何$t\in \mathbb {R}$。

資料

此 LMI 所需的矩陣是 $A$ 和 $C$。對 $A$ 的穩定性沒有限制。

LMI：可檢測性 LMI

$(A,B)$ 是可檢測的，當且僅當存在 $X>0$ 使得

$AX+XA^{T}-B^{T}B<0$.

結論

如果我們能夠找到一個$X>0$ 使得上述LMI成立，這意味著矩陣對$(A,C)$ 是可檢測的。換句話說，一個系統對$(A,C)$ 是可檢測的，如果不可觀測的狀態漸近地接近原點。這是比可觀測性更弱的條件，因為可觀測性要求所有初始狀態都必須能夠在給定輸入$u(t)$ 和輸出$y(t)$ 的有限時間間隔內被唯一確定。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Detectability_LMI.m

相關 LMI

穩定性 LMI

Hurwitz 穩定性 LMI

可控性 Gramian LMI

可觀測性 Gramian LMI

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的 LMI 可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 由段廣仁和於海華著，CRC 出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013 年，第 6.1.1 節和第 6.1 表，第 166-170、192 頁。
• 魯棒控制理論課程：凸方法 - Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 著，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 節，第 71-73 頁。