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可穩定性 LMI

如果系統的所有不穩定模式都是可控的，則系統是可穩定性的。這意味著如果系統是可控的，它也將是可穩定性的。因此，可穩定性本質上是可控性條件的較弱版本。對 $(A,B)$ 對的穩定性，LMI 條件如下所示。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

資料

此 LMI 所需的矩陣是 $A$ 和 $B$。對 A 的穩定性沒有限制。

LMI： 可穩定性 LMI

$(A,B)$ 是可穩定性的，當且僅當存在 $X>0$ 使得

$AX+XA^{T}-BB^{T}<0$,

其中穩定控制器由下式給出

$u(t)=-{\frac {1}{2}}B^{T}X^{-1}x(t)$.

結論

如果我們能夠找到一個 $X>0$ 使得上述LMI成立，則矩陣對 $(A,B)$ 是可穩定化的。換句話說，系統對 $(A,B)$ 是可穩定化的，如果對於任何初始狀態 $x(0)=x_{0}$，都可以找到一個合適的輸入 $u(t)$ 使得狀態 $x(t)$ 漸近地趨近於原點。可穩定化是一個比可控性更弱的條件，因為我們只需要趨近於 $x(t)=0$ 當 $t\rightarrow \infty$，而可控性則要求狀態必須在有限時間內到達原點。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Stabilizability_LMI.m

相關LMI

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外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編著的 LMI 可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 由 Duan Guang-Ren 和 Yu Hai-Hua 撰寫，CRC 出版社，Taylor & amp; Francis 集團，2013 年，第 6.1.1 節和第 6.1 表，第 166-170 頁、192 頁。
• 魯棒控制理論課程：凸方法 - 由 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 撰寫，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 節，第 71-73 頁。