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可觀測性格拉姆矩陣的 LMI

可觀測性是系統的屬性，表示系統的狀態 $x(T)$ 可以透過輸入 $u(t)$ 和輸出 $y(t)$ 在區間 $[0,T]$ 上重建。當無法獲得完整狀態資訊時，這非常必要。如果可觀測，則可以建立估計器或觀測器來重建完整狀態。可觀測性和可控性是雙重概念。因此，為了研究系統的可觀測性，我們可以研究對偶系統的可控性。儘管可以透過多種方法確定系統可觀測性，但其中一種方法是計算可觀測性格拉姆矩陣的秩。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

資料

這個 LMI 所需的矩陣是 $A$ 和 $C$。

LMI：用於確定可觀測性格拉姆矩陣的 LMI

$(A,B)$ 可觀測當且僅當 $Y>0$ 是以下方程的唯一解。

$AY+YA^{T}+C^{T}C<0$,

其中 $Y$ 是可觀測格拉姆矩陣。

結論

以上 LMI 試圖找到系統 $(A,C)$ 的可觀測格拉姆矩陣 $Y$。如果問題是可行的，並且找到了唯一的 $Y$，那麼該系統也是可觀測的。可觀測格拉姆矩陣也可以計算為： $Y=\int _{0}^{\infty }e^{A^{T}s}C^{T}Ce^{As}ds$。由於可觀測性和可控性的對偶性，此 LMI 可以透過確定對偶性的可控性來確定，這導致了上述 LMI。可觀測性和可控性矩陣分別寫為 ${\mathcal {O}}$ 和 ${\mathcal {C}}$。它們之間的關係如下

${\mathcal {O}}(C,A)={\mathcal {C}}(A^{T},C^{T})^{T}$

${\mathcal {C}}(A,B)={\mathcal {O}}(B^{T},A^{T})^{T}$

因此 $(C,A)$ 可觀測當且僅當 $(A^{T},C^{T})$ 可控。請參考可控性格拉姆矩陣部分。

實施

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Observability_Gram_LMI.m

相關 LMI

可鎮定性 LMI

赫爾維茨穩定性 LMI

可檢測性 LMI

可控性格拉姆矩陣 LMI

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• LMIs in Systems and Control Theory - Stephen Boyd 的 LMI 下載書籍。
• LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications - 作者 Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu, CRC Press, Taylor & amp; Francis Group, 2013 年，第 6.1.1 節和第 6.1 表，第 166-170 頁，192 頁。
• 魯棒控制理論教程：凸最佳化方法 - 作者：Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini，Springer，2011 年，第 2.2.3 節，第 71-73 頁。