控制中的LMI/pages/控制性格拉姆矩陣的LMI

用於查詢控制性格拉姆矩陣的LMI

能夠使用反饋和感測器以所需方式調整系統是控制工程中非常重要的一部分。然而，並非所有系統都能調整。這種調整能力指的是“可控”系統的概念，並促使需要確定系統的“可控性”。可控性是指使用輸入準確和精確地操縱系統狀態的能力。本質上，如果一個系統是可控的，則意味著存在一個控制律，該控制律將傳輸給定的初始狀態 $x(t_{0})=x_{0}$ 並將其傳輸到所需最終狀態 $x(t_{f})=x_{f}$。有多種方法可以確定系統是否可控，其中之一是計算秩“控制性格拉姆矩陣”。如果格拉姆矩陣是滿秩的，則系統是可控的，並且存在狀態轉移控制律。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

資料

此 LMI 所需的矩陣是 $A$ 和 $B$。 $A$ 必須是穩定的，問題才能可行。

LMI：確定控制性格拉姆矩陣的LMI

$(A,B)$ 可控當且僅當 $W>0$ 是以下方程式的唯一解

$AW+WA^{T}+BB^{T}<0$,

其中 $W$ 是可控性格拉姆矩陣。

結論

上面的 LMI 找到了系統 $(A,B)$ 的可控性格拉姆矩陣 $W$。如果問題是可行的，並且可以找到唯一的 $W$，那麼我們也能說系統是可控的。系統 $(A,B)$ 的可控性格拉姆矩陣也可以計算為：$W=\int _{0}^{\infty }e^{As}BB^{T}e^{A^{T}s}ds$，控制律為 $u(t)=B^{T}W^{-1}x(t)$，可以將給定的初始狀態 $x(t_{0})=x_{0}$ 轉移到期望的最終狀態 $x(t_{f})=x_{f}$。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Controllability_Gram_LMI.m

相關 LMI

可穩定性 LMI

Hurwitz 穩定性 LMI

可檢測性 LMI

可觀測性格拉姆矩陣 LMI

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 作者為 Duan Guang-Ren 和 Yu Hai-Hua，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013 年，第 6.1.1 節和表 6.1，第 166-170 頁，192 頁。
• 魯棒控制理論課程：凸方法 - 作者為 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 節，第 71-73 頁。