控制中的 LMI/頁面/離散時間 H2 最優觀測器

控制中的 LMI/頁面/離散時間 H2 最優觀測器

在許多應用中，甚至可能是大多數應用中，系統的狀態無法直接知道。在這種情況下，您需要策略性地測量關鍵的系統輸出，以使系統狀態間接可觀察。為了使估計值準確，觀測器需要比系統動力學收斂得快得多。因此，最優觀測器合成是有利的。在這個 LMI 中，我們試圖最佳化 H2 範數，從概念上講，它是在最小化觀測器的平均誤差幅度。

系統

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{c2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是狀態向量，$A\in R^{n\times n}$ 是狀態矩陣，$B\in R^{n\times r}$ 是輸入矩陣，$w\in R^{r}$ 是外生輸入，$C\in R^{m\times n}$ 是輸出矩陣，$D\in R^{m\times r}$ 是直通矩陣，$y\in R^{m}$ 是輸出，並且假定 $(A_{d},C_{d2})$ 是可檢測的。

資料

矩陣 $A_{d},B_{d1},C_{cd2},C_{cd1},D_{d21}$.

最佳化問題

形式為

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

需要設計，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 是觀測器增益。

定義誤差狀態 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，誤差動力學被發現為

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2}e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

效能輸出定義為

$z_{k}=C_{d1}e_{k}$.

觀測器增益 $L_{d}$ 需要設計，使得從 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的傳遞矩陣的 $H_{2}$，由以下給出

$L_{d}{\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21}),\\\end{aligned}}$

被最小化。

LMI： 離散時間 H2 最優觀測器

離散時間 $H_{2}$- 最優觀測器增益是透過求解 $P\in S^{n_{x}}$， $Z\in S^{n_{z}}$， $G_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 和 $v\in R_{>0}$ 來最小化 $J(v)=v$， 受以下約束： $P>0,Z>0$。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&PC_{d1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\\operatorname {tr} Z<v\end{aligned}}$

其中 $\operatorname {tr}$ 指的是矩陣的跡。

結論

透過 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 可以得到 $H_{2}$- 最優觀測器增益。 $T(z)$ 的 $H_{2}$ 範數為 $\mu ={\sqrt {v}}$。 $L_{d}$ 矩陣是用於構建最佳觀測器的觀測器增益。

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Discrete_Time_H2_Optimal_Observer_LMIs_Wikibook_Example.m

相關 LMI

混合 H2-Hinfinity 離散時間觀測器

Discrete-Time_Hinfinity-Optimal_Observer

外部連結

這個LMI來自Ryan Caverly關於LMI的書籍（第5.1.2節）

• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。

其他資源

• 控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 主講的關於 LMI 的課程。
• 系統與控制理論中的 LMI - 由 Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。