控制中的LMI/頁面/離散時間H無窮最優觀測器

控制中的LMI/頁面/離散時間H無窮最優觀測器

在許多應用中，甚至大多數應用中，系統的狀態無法直接得知。在這種情況下，你需要戰略性地測量關鍵的系統輸出，以便間接觀察系統狀態。為了使估計值準確，觀測器需要比系統動力學更快地收斂。因此，最優觀測器綜合是有利的。在這個LMI中，我們尋求最佳化H無窮範數，從概念上講，就是最小化觀測器誤差的最大幅度。

系統

這個LMI需要的系統是一個離散時間LTI工廠 $G$，它具有狀態空間實現

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是狀態向量，$A\in R^{n*n}$ 是狀態矩陣，$B\in R^{n*r}$ 是輸入矩陣，$w\in R^{r}$ 是外源輸入，$C\in R^{m*n}$ 是輸出矩陣，$D\in R^{m*r}$ 是直通矩陣，$y\in R^{m}$ 是輸出，並假設 $(A_{d},C_{d2})$ 是可檢測的。

資料

矩陣 $A_{d},B_{d1},C_{d2},D_{d21},D_{d11}$.

最佳化問題

一種形式的觀測器

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

設計一個觀察器，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 是觀察器增益。

定義誤差狀態 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，誤差動力學發現為

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2})e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

效能輸出定義為

$z_{k}=C_{d1}e_{k}+D_{d11}w_{k}$.

觀察器增益 $L_{d}$ 旨在設計，使得從 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的傳遞矩陣的 $H_{inf}$ 最小化，由下式給出：

${\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21})+D_{d11},\\\end{aligned}}$

被最小化。

LMI： 離散時間 Hinf 最優觀測器

離散時間 $H_{inf}$ 最優觀測器增益透過求解 $P\in S^{n_{x}}$，$G_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$，和 $\gamma \in R_{>0}$ 來合成，這些值最小化 J$(\gamma )=\gamma$，受限於 $P>0$，以及

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}&0\\*&P&0&C_{d1}^{T}\\*&*&\gamma *1&D_{d11}^{T}\\*&*&*&\gamma *1\end{bmatrix}}&>0.\\\end{aligned}}$

結論

該 $H_{inf}$-最優觀測器增益可以透過 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 恢復，並且 $H_{inf}$ 範數為 $\gamma$。然後，可以使用該觀測器增益矩陣來構建最優觀測器，該觀測器由以下公式給出：

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Hinfobsdiscretetime.m

相關 LMI

混合 H2-Hinfinity 離散時間觀測器

離散時間_H2-最優觀測器

外部連結

此 LMI 來自 Ryan Caverly 關於 LMI 的文字（第 5.2.2 節）

• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。

其他資源

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。