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離散時間 H2 範數

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作，併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性的又是時不變的類別被稱為離散時間 LTI 系統。

離散時間 LTI 系統的 H2 範數可以透過求解 LMI 來找到。

系統

具有狀態空間實現的離散時間 LTI 系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,Z$.

最佳化問題

以下可行性問題應最佳化

$\mu$ 在滿足 LMI 約束的情況下，將被最小化。

LMI

離散時間有界實部引理

LMI 公式

H2 範數 < $\mu$

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};Z\in {S^{p}};\mu \in {R_{>0}}\;\\&P>0,&Z>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P&B_{d}\\*&P&0\\*&*&I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d}P\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\trZ<\mu ^{2}\end{aligned}}$

結論

H2 範數是滿足 LMI 條件的最小值 $\mu \in {R_{>0}}$。

實現

指向 CodeOcean 或其他 LMI 線上實現的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間 H2 範數。

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• [2] - MATLAB 中的 H2 範數函式。