控制中的LMI/pages/系統H2範數的LMI

${H_{2}}$-norm of System

該 ${H_{2}}$-norm 在概念上與矩陣上的 Frobenius（也稱為歐幾里得）範數相同。它可以用來確定系統表示是否可以簡化為最簡單的形式，從而允許它用於執行有效的方框圖代數。

系統

假設我們定義狀態空間系統$G:{L_{2}}\rightarrow {L_{2}}{\text{ by }}y=Gu$ 如果

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$。那麼該 ${H_{2}}$-norm 可以像下面描述的那樣確定。

資料

為了確定該 ${H_{2}}$-norm，我們需要矩陣 ${A}$, ${B}$, 和 ${C}$.

最佳化問題

假設我們想要推斷系統行為的特性（以 **(A,B,C,D)** 的形式表示）。那麼，必須確保整個系統構成一個代數，否則標準的塊圖代數將失效。唯一可行的方法是計算 ${H_{2}}$ 和/或 ${H_{\infty }}$ 範數 - 這兩種範數都是訊號範數，在某種意義上衡量了傳遞函式的大小。

LMI： $H_{2}$ 範數

假設 ${\hat {P}}(s)=C(sI-A)^{-1}B$，這意味著以下關係是等價的：

$1)\quad A{\text{ is Hurwitz and }}||{\hat {P}}||_{H_{2}}^{2}<\gamma$

$2){\begin{aligned}{\begin{cases}trace(CXC^{T})&<\gamma \\AX+XA^{T}+BB^{T}&<0\\X&>0\end{cases}}\end{aligned}}$

結論

LMI 可以用來最小化系統的 ${H_{2}}$ 範數。值得注意的是，有限的 ${H_{2}}$ 範數不能保證有限的 ${H_{\infty }}$ 範數，為了使塊圖代數有效， ${H_{\infty }}$ 範數必須是有限的。

實現

• 示例程式碼 - 一個 GitHub 連結，包含程式碼（名為 "H2Norm.m"）演示瞭如何使用 MATLAB-YALMIP 實現此 LMI。

相關 LMI

• $H_{2}$-濾波 - $H_{2}$-濾波的LMI
• 離散時間$H_{2}$ 範數 - $H_{2}$-範數在離散時間情況下的LMI。

外部連結

列出了一些記錄和驗證LMI的參考。

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於控制中的LMIs的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI特性及其應用 - Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI清單。
• 系統與控制理論中的LMI - Stephen Boyd撰寫的一本關於LMIs的下載書籍。