控制中的 LMI/pages/H-2 濾波

控制中的 LMI/pages/H-2 濾波

對於具有擾動的系統，濾波可用於減少這些擾動的影響。本頁介紹了一種獲得濾波器的方法，該濾波器將盡可能減少擾動的影響。為此，我們希望找到一組描述濾波系統的新系數矩陣。實現這種新系統的過程如下。H2 濾波器試圖最小化誤差的平均幅度。

系統

為了應用此 LMI，我們將研究可以用狀態空間表示的線性系統，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\y&=Cx+Dw\\z&=Lx\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分別代表狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量， $w\in R^{p}$ 是擾動向量， $A,B,C,D$ 和 $L$ 是適當維度的系統矩陣。為了進一步定義： $x$ 是 $\in R^{n}$ 並且是狀態向量， $A$ 是 $\in R^{n*n}$ 並且是狀態矩陣， $B$ 是 $\in R^{n*r}$ 並且是輸入矩陣， $w$ 是 $\in R^{r}$ 並且是外生輸入， $C$ 是 $\in R^{m*n}$ 並且是輸出矩陣， $D$ 和 $L$ 是 $\in R^{m*r}$ 並且是直通矩陣， $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 並且分別是輸出和感興趣的輸出。

資料

資料是 $w$（擾動向量），以及 $A,B,C,D$ 和 $L$（系統矩陣）。此外，$A$ 矩陣被假定為穩定的。

最佳化問題

我們需要設計一個濾波器，盡最大可能消除擾動的影響。為此，我們採用以下形式的濾波器

${\begin{aligned}{\dot {\sigma }}&=A_{f}\sigma +B_{f}y,\sigma (0)=\sigma _{0}\\{\hat {z}}&=C_{f}\sigma ,\end{aligned}}$

其中 $\sigma \in R^{n}$ 是狀態向量，${\hat {z}}\in R^{m}$ 是估計向量，以及 $A_{f},B_{f},C_{f}$ 是適當維度的係數矩陣。

請注意，組合後的完整系統可以表示為

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e},\end{aligned}}$

其中 ${\tilde {z}}=z-{\hat {z}}\in R^{m}$ 是估計誤差，

${\begin{aligned}x_{e}={\begin{bmatrix}x\\\sigma \end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

是系統的狀態向量，以及 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ 是係數矩陣，定義為

${\begin{aligned}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&0\\B_{f}C&A_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {B}}={\begin{bmatrix}B\\B_{f}D\end{bmatrix}},\\{\tilde {C}}={\begin{bmatrix}L&-C_{f}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

換句話說，對於上面定義的系統，我們需要找到 $A_{f},B_{f},C_{f}$ 使得

${\begin{aligned}||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{2}<\gamma ,\end{aligned}}$

其中 $\gamma$ 是一個正的常數，並且

${\begin{aligned}G_{{\tilde {z}}w}(s)={\tilde {C}}(sI-{\tilde {A}})^{-1}{\tilde {B}}\end{aligned}}$

LMI： H-2 濾波

對於這個 LMI，如果以下 LMI 集中的其中一個成立，則解存在

矩陣 $R,X,M,N,Z,Q$ 存在，並滿足以下 LMIs

${\begin{aligned}R-X&>0,\\trace(Q)&<\gamma ^{2},\\{\begin{bmatrix}-Q&*&*\\L^{T}&-R&*\\-N^{T}&-X&-X\end{bmatrix}}&<0,\\{\begin{bmatrix}RA+A^{T}R+ZC+C^{T}Z^{T}&*&*\\M^{T}+ZC+XA&M^{T}+M&*\\B^{T}R+D^{T}Z^{T}&B^{T}X+D^{T}Z^{T}&-I\end{bmatrix}}&<0.\\\end{aligned}}$

或

存在滿足以下 LMI 的矩陣 ${\bar {R}},{\bar {X}},{\bar {M}},{\bar {N}},{\bar {Z}},{\bar {Q}}$

${\begin{aligned}{\bar {R}}-{\bar {X}}&>0,\\trace({\bar {Q}})&<\gamma ^{2},\\{\begin{bmatrix}-{\bar {Q}}&*&*\\{\bar {R}}B+{\bar {Z}}D&-{\bar {R}}&*\\{\bar {X}}B+{\bar {Z}}D&-{\bar {X}}&-I\end{bmatrix}}&<0,\\{\begin{bmatrix}{\bar {R}}A+A^{T}{\bar {R}}+{\bar {Z}}C+C^{T}{\bar {Z}}^{T}&*&*\\{\bar {M}}^{T}+{\bar {Z}}C+{\bar {X}}A&{\bar {M}}^{T}+{\bar {M}}&*\\L&-{\bar {N}}&-I\end{bmatrix}}&<0.\\\end{aligned}}$

結論

為了找到相應的濾波器，使用第一個解中的最佳化矩陣，可以找到

$A_{f}=X^{-1}M,B_{f}=X^{-1}Z,C_{f}=N$

或者使用第二個解找到

$A_{f}={\bar {X}}^{-1}{\bar {M}},B_{f}={\bar {X}}^{-1}{\bar {Z}},C_{f}={\bar {N}}$

然後可以利用這些矩陣來生成 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}$ 來構建最終的濾波器，該濾波器將最佳地消除系統的干擾。

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e},\end{aligned}}$

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/H2_Filtering.m

相關 LMI

H-無窮大濾波

外部連結

此 LMI 來自

• [1] - “控制系統中的 LMI：分析、設計和應用”由段廣仁和餘海華著

其他資源

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中的 LMI 的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的一份 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編著的關於 LMI 的可下載書籍。

參考文獻

段廣仁 (2013)。控制系統中的 LMI：分析、設計和應用。博卡拉頓：CRC 出版社，泰勒與弗朗西斯集團。