控制中的LMI/pages/H-infinity 濾波

控制中的LMI/pages/H-infinity 濾波

對於存在擾動的系統，濾波可以用於減少這些擾動的影響。此頁面描述了一種獲得濾波器的方法，該濾波器將盡可能地減少擾動的影響。為此，我們希望找到一組新的係數矩陣來描述濾波後的系統。實現這種新系統的過程在下面描述。H-infinity 濾波器試圖最小化最大誤差幅度。

系統

為了應用此 LMI，我們將關注可以使用狀態空間表示的線性系統，如下所示：

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\y&=Cx+Dw\\z&=Lx\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分別代表狀態向量、測量輸出向量和感興趣的輸出向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，而 $A,B,C,D$ 和 $L$ 是相應維度的系統矩陣。

進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 並且是狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 並且是狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 並且是輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 並且是外生輸入，$C$ 是 $\in R^{m*n}$ 並且是輸出矩陣，$D$ 和 $L$ 是 $\in R^{m*r}$ 並且是直通矩陣，$y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 並且分別是輸出和感興趣的輸出。

資料

資料是 $w$（擾動向量）和 $A,B,C,D$ 和 $L$（系統矩陣）。此外，假設 $A$ 矩陣是穩定的。

最佳化問題

我們需要設計一個過濾器來儘可能地消除干擾的影響。為此，我們使用以下形式的過濾器

${\begin{aligned}{\dot {\sigma }}&=A_{f}\sigma +B_{f}\sigma ,\sigma (0)=\sigma _{0}\\{\hat {z}}&=C_{f}\sigma +D_{f}y,\end{aligned}}$

其中 $\sigma \in R^{n}$ 是狀態向量，${\hat {z}}\in R^{m}$ 是 z 的估計向量，$A_{f},B_{f},C_{f},andD_{f}$ 是相應維度的係數矩陣。

請注意，組合後的完整系統可以表示為

${\begin{aligned}{\dot {x}}_{e}&={\tilde {A}}x_{e}+{\tilde {B}}w,x_{e}(0)=x_{e0}\\{\tilde {z}}&={\tilde {C}}x_{e}+{\tilde {D}}w,\end{aligned}}$

其中 ${\tilde {z}}=z-{\hat {z}}\in R^{m}$ 是估計誤差，

${\begin{aligned}x_{e}={\begin{bmatrix}x\\\sigma \end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

是系統的狀態向量，${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}},{\tilde {D}}$ 是係數矩陣，定義為

${\begin{aligned}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&0\\B_{f}C&A_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {B}}={\begin{bmatrix}B\\B_{f}D\end{bmatrix}},\\{\tilde {C}}={\begin{bmatrix}L-D_{f}C&-C_{f}\end{bmatrix}},{\tilde {D}}=-D_{f}D\end{aligned}}$

換句話說，對於上述定義的系統，我們需要找到 $A_{f},B_{f},C_{f},andD_{f}$ 使得

${\begin{aligned}|G_{{\tilde {z}}w}(s)|_{\inf }<\gamma ,\end{aligned}}$

其中 $\gamma$ 是一個正的常數，並且

${\begin{aligned}G_{{\tilde {z}}w}(s)={\tilde {C}}(sI-{\tilde {A}})^{-1}{\tilde {B}}+{\tilde {D}}.\end{aligned}}$

LMI: H 無窮濾波

該解可以透過找到矩陣 $R,X,M,N,Z,D_{f}$ 來實現，這些矩陣滿足以下 LMI

${\begin{aligned}X&>0\\R-X&>0\\{\begin{bmatrix}RA+A^{T}R+ZC+C^{T}Z^{T}&*&*&*\\M^{T}+ZC+XA&M^{T}+M&*&*\\B^{T}R+D^{T}Z^{T}&B^{T}X+D^{T}Z^{T}&-\gamma I&*\\L-D_{f}C&-N&-D_{f}D&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}$

結論

要找到相應的濾波器，可以使用解中最佳化後的矩陣來找到

$A_{f}=X^{-1}M,B_{f}=X^{-1}Z,C_{f}=N,D_{f}=D_{f}$

然後可以使用這些矩陣來生成 ${\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}},{\tilde {D}}$ 來構建上面描述的過濾器，它將最有效地消除系統的干擾。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/hinf_filtering.m

相關 LMI

H-2_filtering

外部連結

此 LMI 來自

• [1] - “控制系統中的 LMI：分析、設計與應用” 作者：段廣仁和餘海華

其他資源

• 控制中的 LMI 方法 - 由馬修·皮特教授的關於 LMI 在控制中的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 由瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯提供的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德教授撰寫的關於 LMI 的可下載書籍。

參考文獻

段，G. (2013)。控制系統中的 LMI：分析、設計與應用。博卡拉頓：CRC 出版社，泰勒與弗朗西斯集團。