控制中的LMI/pages/離散時間有界實引理

離散時間有界實引理

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。一類既是線性的又是時不變的離散時間系統，稱為離散時間LTI系統。

離散時間有界實引理或H∞範數可以透過求解LMI來找到。

系統

具有狀態空間實現的離散時間LTI系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P$.

最佳化問題

以下可行性問題應進行最佳化

$\gamma$ 在滿足LMI約束的情況下被最小化。

LMI

離散時間有界實引理

LMI公式

H∞範數 < $\gamma$

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\&P>0,\\{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}&C_{d}^{T}\\*&B_{d}^{T}PB_{d}-\gamma I&D_{d}^{T}\\*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0,\end{aligned}}$

結論

H∞ 範數是滿足 LMI 條件的$\gamma \in {R_{>0}}$的最小值。如果$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$是最小實現，則不等式可以是非嚴格的。

實現

指向 CodeOcean 或其他線上實現 LMI 的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間 KYP_Lemma_(Bounded_Real_Lemma)

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。