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離散時間可檢測性

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性又是時不變的類別，稱為離散時間LTI系統。

離散時間LTI系統可以使用觀察器增益L來使其可檢測，可以使用LMI最佳化來找到觀察器增益L，使得閉環系統是可檢測的。

系統

具有狀態空間實現的離散時間LTI系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

最佳化問題

以下可行性問題應該被最佳化

在服從LMI約束的情況下最大化P。
然後找到L。

LMI

離散時間可檢測性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}^{T}P+C_{d}^{T}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\L=P^{-1}W\end{aligned}}$

結論

系統可檢測當且僅當存在一個 $P$，使得 $P>0$。矩陣 $A_{d}+LC_{d}$ 是 Schur 矩陣，其中 $L=P^{-1}W$

實現

一個指向 CodeOcean 或其他線上 LMI 實現的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間可檢測性

外部連結

一個列出文件和驗證 LMI 的參考資料列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編著的關於 LMI 的可下載書籍。