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離散時間 H∞ 最優動態輸出反饋控制

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性又是時不變的一類系統，稱為離散時間 LTI 系統。

動態輸出反饋控制器是為離散時間系統設計的，以最小化具有外生輸入 $w_{k}$ 和效能輸出 $z_{k}$ 的閉環系統的 H∞ 範數。

系統

具有狀態空間實現 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的離散時間 LTI 系統
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d11}w_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}+D_{d22}u_{k}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},C_{d1},D_{d11},D_{d12},D_{d21},D_{d22}),X_{1},Y_{1},Z,,X_{2},Y_{2}$

控制器 $(A_{dc},B_{dc},C_{dc},D_{dc})$

最佳化問題

以下可行性問題應最佳化

$\gamma$ 在服從 LMI 約束的同時被最小化。

LMI

離散時間 H∞ 最優動態輸出反饋控制

LMI 公式

H∞ 範數 < $\gamma$

${\begin{aligned}X_{1},Y_{1}\in {S^{n_{x}}};Z\in {S^{n_{z}}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\A_{dn}\in {R^{n_{x}*n_{x}}};B_{dn}\in {R^{n_{x}*n_{y}}};C_{dn}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};D_{dn}\in {R^{n_{u}*n_{y}}};\\&X_{1}>0\\&Y_{1}>0\\&Z>0\\{\begin{bmatrix}X_{1}&1&X_{1}A_{d}+B_{dn}C_{d2}&A_{dn}&X_{1}B_{d1}+B_{dn}D_{d21}&0\\*&Y_{1}&A_{d}+B_{d2}D_{dn}C_{d2}&A_{d}Y_{1}+B_{d2}C_{dn}&B_{d1}+B_{d2}D_{dn}D_{d21}&0\\*&*&X_{1}&1&0&C_{d1}^{T}+C_{d2}^{T}D_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&Y_{1}&0&Y_{1}C_{d1}^{T}+C_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&*&-\gamma I&D_{d11}^{T}+D_{d21}^{T}D_{dn}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&*&*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}X_{1}&1\\*&Y_{1}\end{bmatrix}}&>0,\\\end{aligned}}$

控制器由以下公式恢復

${\begin{aligned}&A_{dc}=A_{dk}-B_{dc}(1-D_{d22}D_{dc})^{-1}D_{d22}C_{dc}\\&B_{dc}=B_{dk}(1-D_{dc}D_{d22})\\&C_{dc}=(1-D_{dc}D_{d22})C_{dk}\\&D_{dc}=1+D_{dk}D_{d22})^{-1}D_{dk}\\\end{aligned}}$

其中， ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{dk}&B_{dk}\\C_{dk}&D_{dk}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{d2}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}({\begin{bmatrix}A_{dn}&B_{dn}\\C_{dn}&D_{dn}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}A_{d}Y_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}){\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{d2}Y_{1}&1\end{bmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$
矩陣 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 滿足 $X_{2}Y_{2}^{T}=1-X_{1}Y_{1}$