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離散時間 H∞ 最優全狀態反饋控制

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如用於影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性又是時不變的一類稱為離散時間 LTI 系統。

一個離散時間系統的全狀態反饋控制器設計，以最小化閉環系統的 H∞ 範數，其中外生輸入為 $w_{k}$，效能輸出為 $z_{k}$.

系統

具有狀態空間實現的離散時間 LTI 系統 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},D_{d12}),P,F_{d}$.

最佳化問題

以下可行性問題應被最佳化

$\gamma$ 應在遵守 LMI 約束的同時被最小化。

LMI

離散時間 H∞ 最優全狀態反饋控制

LMI 公式

H∞ 範數 < $\gamma$

${\begin{aligned}P\in {S^{n_{x}}};&F_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};\gamma \in {R_{>0}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1}&0\\*&P&0&PC_{d1}^{T}-F_{d}^{T}D_{d12}^{T}\\*&*&-\gamma I&D_{d11}^{T}\\*&*&*&-\gamma I\end{bmatrix}}&>0,\\\end{aligned}}$

結論

透過 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 恢復 H∞ 最優全狀態反饋增益。

實現

LMI 線上實現的連結，例如 CodeOcean 或其他平臺：
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間 H∞ 最優全狀態反饋控制

外部連結

列出記錄和驗證 LMI 的參考文獻。

• 控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特教授關於控制中的 LMI 的課程。
• LMI 的性質和在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德編寫的關於 LMI 的可下載書籍。