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全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ 控制

全狀態反饋是一種控制技術，它試圖根據給定的效能指標，將系統的閉環系統極點放置在指定位置。 $H_{\infty }$ 方法將此任務表述為一個最佳化問題，並試圖最小化系統的 $H_{\infty }$ 範數。在單輸入單輸出 (SISO) 系統中，該範數表示幅頻特性圖上的最大增益。在多輸入多輸出 (MIMO) 系統的情況下，它可以解釋為引入到系統中的擾動的最大響應。在任何情況下，透過最小化 $H_{\infty }$ ，我們正在最小化擾動對系統的最壞情況影響，無論它是噪聲還是其他擾動。

系統

系統使用下面顯示的 9 矩陣表示法表示。

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態， $z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是受控輸出， $y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ 是感知輸出， $w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外源輸入， $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是執行器輸入，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

使用較低線性分數變換 (LFT) 將控制器 $K$ 實現到系統中。較低 LFT 表示為 ${\underline {S}}(P,K)$ ，由 ${\underline {S}}(P,K)=P_{11}+P_{12}(I-KP_{22})^{-1}KP_{21}$ 構成，其中 ${\begin{bmatrix}z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$ 。對於全狀態反饋，我們考慮以下形式的控制器 $u(t)=Fx(t)$ 。這是一個特例，其中 $y(t)=x(t)$ ，併產生以下形式的控制器 $K={\begin{bmatrix}0&0\\0&F\end{bmatrix}}$ 。