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全狀態反饋最優 $H_{2}$ 控制

全狀態反饋通常的目標是將系統的閉環極點放置在所需的位置。這使我們能夠指定系統的效能，例如要求穩定性或限制輸出的超調。透過最小化 $H_{2}$ 規範，我們最小化噪聲對系統的影響，作為效能指標的一部分，特別是在瞭解噪聲分佈的情況下。

系統

系統使用下面顯示的 9 矩陣表示法表示。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是受控輸出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ 是被感知的輸出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外源輸入，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是執行器輸入，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

資料

$A$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$, $C_{2}$, $D_{11}$, $D_{12}$, $D_{21}$, $D_{22}$ 已知。

線性矩陣不等式（LMI）： 最優輸出反饋 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下等價。

1) 存在一個 $K$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{2}}<\gamma$

2) 存在 $X>0$, $Z$ 和 $W$ 使得

${\begin{bmatrix}A&B_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X&Z^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{T}\\B_{2}^{T}\end{bmatrix}}+B_{1}B_{1}^{T}<0$

${\begin{bmatrix}X&*^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&W\end{bmatrix}}>0$

$trace(W)<\gamma ^{2}$

其中 $K=ZX^{-1}$

結論

此 LMI 解決 $H_{2}$ 最優全狀態反饋問題，並找到 $H_{2}$ 系統範數的上界，$\gamma$。此外，控制器 $K$ 也在過程中被找到。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/FSF_H2.m

相關 LMI

全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ LMI

外部連結

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 由 Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu 撰寫，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013 年。
• 魯棒控制理論課程：凸方法 - 由 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini 撰寫，Springer，2011 年，第 6 章。