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離散時間 H2 最優全狀態反饋控制

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行運算，併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間線性時不變系統（離散時間 LTI 系統）屬於一類既是線性又是時不變的離散時間系統。

為離散時間系統設計全狀態反饋控制器，以最小化閉環系統的 H2 範數，其中外生輸入為 $w_{k}$，效能輸出為 $z_{k}$.

系統

具有狀態空間實現 $(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$ 的離散時間 LTI 系統
${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k}+B_{d2}u_{k}\\z_{k}&=C_{d1}x_{k}+D_{d12}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d1},B_{d2},C_{d1},D_{d12}),P,Z,F_{d}$.

最佳化問題

以下可行性問題應被最佳化

$\mu$ 在服從 LMI 約束的情況下被最小化。

LMI

離散時間 H2 最優全狀態反饋控制

LMI 公式

H2 範數 < $\mu$

${\begin{aligned}P\in {S^{n_{x}}};Z\in {S^{n_{z}}};&F_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}};\mu \in {R_{>0}}\;\\&P>0\\&Z>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d2}F_{d}&B_{d1}\\*&P&0\\*&*&I\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d1}P+D_{d12}F_{d}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\&trZ<\mu ^{2}\end{aligned}}$

結論

H2 最優全狀態反饋增益由 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 恢復。

實現

LMI 線上實現的連結（CodeOcean 或其他線上平臺）
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間 H2 最優全狀態反饋控制

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於控制中的 LMI 的課程。
• LMI 性質及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。