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離散時間混合 H2-H∞ 最優全狀態反饋控制

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作，併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中同時具有線性性和時不變性的類別，稱為離散時間 LTI 系統。

需要設計一個全狀態反饋控制器 $K=K_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}}$（即 $uk=K_{d}x_{k}$）以最小化閉環傳遞矩陣 $T11(z)$ 的 H2 範數，該矩陣是從外生輸入 $w_{1,k}$ 到效能輸出 $z_{1,k}$，同時確保閉環傳遞矩陣 $T22(z)$ 的 H∞ 範數，該矩陣是從外生輸入 $w_{2,k}$ 到效能輸出 $z_{2,k}$ 小於 $\gamma _{d}$.

系統

具有狀態空間實現的離散時間 LTI 系統

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1,1}w_{1,k}+B_{d1,2}w_{2,k}+B_{d2}u_{k},\\{\begin{bmatrix}Z_{1,k}\\Z_{2,k}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{d1,1}\\C_{d1,2}\end{bmatrix}}x_{k}+{\begin{bmatrix}0&D_{d11,12}\\D_{d11,21}&D_{d11,22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1,k}\\w_{2,k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}D_{d12,1}\\D_{d12,2}\end{bmatrix}}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統 $(A_{d},B_{d1,1},B_{d1,2},B_{d2},C_{d1,1},C_{d1,2},D_{d11,12},D_{d11,21},D_{d11,22},,D_{d12,1},D_{d12,2}),P,F_{d}$.

最佳化問題

應該最佳化以下可行性問題。

最小化閉環傳遞矩陣 $T11(z)$ 的 H2 範數，同時確保閉環傳遞矩陣 $T22(z)$ 的 H∞ 範數小於 $\gamma _{d}$，同時遵守 LMI 約束。

LMI

透過求解 $P\in S^{n_{x}},Z\in S^{n_{w}},F_{d}\in R^{n_{u}*n_{x}}$ 和 $\mu \in R_{>0}$ 來合成離散時間混合 H2-H∞ 最優全狀態反饋控制器，這些值可以使 $\mu$ 最小化，受制於 $P>0,Z>0$

LMI 公式

H∞ 範數 < $\gamma _{d}$

H2 範數 < $\mu$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1,1}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1,2}&0\\*&P&0&PC_{d1,2}^{T}-F_{d}^{T}D_{d12,2}^{T}\\*&*&\gamma _{d}I&D_{d11,22}^{T}\\*&*&*&\gamma _{d}I\end{bmatrix}}&>0\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d1,1}P-D_{d12,1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0\\trace(Z)&<\mu ^{2}\end{aligned}}$

結論

透過 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 可以得到 H2 最優全狀態反饋控制器增益。

實現

LMI 的 CodeOcean 或其他線上實現的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間混合 H2-H∞ 最優全狀態反饋控制

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 開設的有關控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編制的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的有關 LMI 的可下載書籍。