控制中的 LMI / 頁面 / 離散時間 QSR

概念

在系統理論中，耗散的概念最初由 Willems 提出，它透過輸入-輸出特性描述動態系統。考慮一個由狀態 $x(t)$、輸入 $u(t)$ 和輸出 $y(t)$ 描述的動態系統，輸入-輸出關聯被賦予了一個供給率 $w(u(t),y(t))$。如果存在一個連續可微的儲存函式 $V(x(t))$，使得 $V(0)=0$、$V(x(t))\geq 0$ 並且

${\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))$

作為耗散的一個特例，如果上述耗散不等式在無源性供給率 $w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)$ 下成立，則稱一個系統為無源的。

物理解釋是 $V(x)$ 是系統中儲存的能量，而 $w(u(t),y(t))$ 是供應給系統的能量。

這個概念與李雅普諾夫穩定性有密切聯絡，在動態系統的可控性和可觀測性滿足一定條件下，儲存函式可以充當李雅普諾夫函式的作用。

簡而言之，耗散理論可用於為線性和非線性系統設計反饋控制律。耗散系統理論由 Vasile M. Popov、Jan Camiel Willems、D.J. Hill 和 P. Moylan 等人研究。線上性不變系統的情況下，這被稱為正實傳遞函式，一個基本工具是所謂的卡爾曼-雅庫波維奇-波波夫引理，它將正實系統的狀態空間和頻域特性聯絡起來。由於耗散系統在系統和控制中的重要應用，它仍然是系統和控制領域一個活躍的研究領域。

系統

考慮一個離散時間線性時不變系統，${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$，其最小狀態空間實現為$({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$，其中${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 以及${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

$x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)$

$y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...$

資料

矩陣${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 以及${\mathcal {D}}_{d}$

最佳化問題

系統${\mathcal {G}}$ 是QSR 耗散的，如果

$\sum _{i\mathop {=} 0}^{K}({\mathcal {y}}_{i}^{T}Q{\mathcal {y}}_{i}+2{\mathcal {y}}_{i}^{T}S{\mathcal {u}}_{i}+{\mathcal {u}}_{i}^{T}R{\mathcal {u}}_{i})\,dt\geq 0,\forall u\in {\mathcal {l}}_{2e},\forall k\in {\mathcal {Z}}\geq 0$

其中 ${\mathcal {u}}_{k}$ 是對 ${\mathcal {G}},{\mathcal {y}}_{k}$ 的輸入，${\mathcal {y}}_{k}$ 是對 ${\mathcal {G}}$ 的輸出，$Q\in {\mathcal {S}}^{p},S\in {\mathcal {R}}^{p\times m},$ 以及 ${\mathcal {R}}\in {\mathcal {S}}^{m}$.

LMI：QSR耗散系統的離散時間KYP引理

系統 ${\mathcal {G}}$ 也是 **QSR** 耗散的當且僅當存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0,$ 使得

${\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{d}^{T}QC_{d}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}S-C_{d}^{T}QD_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}S-C_{d}^{T}QD_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-D_{d}^{T}QD_{d}-(D_{d}^{T}S+S^{T}D_{d})-R\end{bmatrix}}\leq 0.$

結論

如果存在正定矩陣$P$ 用於選擇的Q,S 和 R 矩陣，則系統 ${\mathcal {G}}$ 是 QSR 消散的。

實現

使用 MATLAB 實現此 LMI 的程式碼。 https://github.com/VJanand25/LMI

相關 LMI

KYP 引理
連續時間 QSR 消散系統的 KYP 引理

參考文獻

1. J. C. Willems，“耗散動力系統 - 第一部分：一般理論”，《合理力學與分析檔案》，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 頁，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非線性耗散系統的穩定性”，《IEEE 自動控制學報》，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 頁，1976 年。
3. LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2