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離散時間可穩定性

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性又是時不變的一類稱為離散時間LTI系統。

離散時間LTI系統可以使用控制器增益K進行穩定，該增益可以使用LMI最佳化找到，使得閉環系統穩定。

系統

具有狀態空間實現的離散時間LTI系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

最佳化問題

以下可行性問題應進行最佳化

在服從LMI約束的情況下最大化P。
然後找到K。

LMI

離散時間可穩定性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\K_{d}=WP^{-1}\end{aligned}}$

結論

系統可穩定當且僅當存在一個 $P$，使得 $P>0$。矩陣 $A_{d}+B_{d}K_{d}$ 是 Schur 矩陣，其中 $K_{d}=WP^{-1}$

實現

CodeOcean 或其他線上實現 LMI 的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間可穩定性

外部連結

文件化和驗證 LMI 的參考資料列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的關於 LMI 在控制中的課程。
• LMI 在系統、穩定性和控制理論中的性質和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。