控制中的LMI/頁面/系統的耗散性

系統的耗散性

系統的耗散性與其供給函式相關。一般來說，如果線性系統的供給函式的累積和（積分）在$T\geq 0$ 的整個持續時間內都是非負的，則該系統是耗散的。

系統

如下所示的線性系統的狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是系統的狀態、輸出和輸入向量。A、B、C 和 D 是相應維度的系統係數矩陣。控制輸入 u 被限制為定義在$[0,\infty )$ 上的分段連續向量函式。

此類系統的傳遞函式可以計算為

${\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}$

對於這樣的系統，一般二次供給函式定義為

${\begin{aligned}s(u,y)&={\begin{bmatrix}y&u\end{bmatrix}}Q{\begin{bmatrix}y\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 Q 是 (m+r) 維的實對稱矩陣。Q 不必是正定或負定的。

資料

需要知道狀態數 n、輸出數 m 和控制輸入數 r。此外，還需要知道系統矩陣 A、B、C、D。系統也應該是可控的。

可行性LMI

定義的系統$G(s)$可以被評估為關於供應函式$s(u,y)$的耗散的，當且僅當存在$P\geq 0$和一個$Q$（定義$s(u,y)$），使得以下條件可行。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P,Q:\\&P\geq 0\\{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB\\B^{\top }P&0\end{bmatrix}}&-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }Q{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

結論

如果上述LMI存在可行解，則存在一個供應函式$s(u,y)$，對於該供應函式，系統$G(s)$是耗散的。由於系統可控性是其耗散性的必要條件，因此此檢查可用作檢查線性系統可控性的充分條件，就像李雅普諾夫穩定性的可行性一樣。

實現

要解決可行性LMI，需要YALMIP工具箱來建立可行性問題，並且需要SeDuMi來解決該問題。以下連結展示了一個可行性問題的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Dissipativity_example.m

相關LMI

連續時間李雅普諾夫不等式

外部連結

記錄和驗證LMI的一系列參考文獻。

• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 由段廣仁和於海華著，CRC出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013年，第6.3節，第178-184頁。