控制中的 LMI / 頁面 / 矩陣和 LMI 基礎 / 矩陣正定性概念

正定性符號

一個對稱矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定義為

半正定，$(A\geq 0)$，如果對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax\geq 0$。

正定，$(A>0)$，如果對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax>0$。

半負定，$(-A\geq 0)$。

負定，$(-A>0)$。

不定，如果 $A$ 既不是半正定也不是半負定。

正定矩陣的性質

• 對於任何矩陣 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩陣是可逆的，並且其逆矩陣也是正定的。
• 一個正定矩陣 $A>0$ 有一個平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 對於一個正定矩陣$A>0$ 和可逆矩陣$M$，$M^{T}AM>0$.
• 如果$A>0$ 並且$M>0$，那麼$A+M>0$.
• 如果$A>0$，那麼$\mu A>0$ 對於任何標量$\mu >0$.

外部連結

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - 馬修·皮特的關於控制中LMIs的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質和應用 - 萊恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMIs - 斯蒂芬·博伊德關於LMIs的可下載書籍。