控制中的LMI/頁面/H2條帶區域

具有最小$H_{2}$增益的不敏感條帶區域設計

在設計具有不敏感區域條件的控制器時，目標是將系統的閉環極點放置在由其內邊界定義的特定區域中。這些區域根據其對系統引數矩陣擾動的敏感性來指定。

這種設計的一種型別是不敏感條帶區域設計。在本節中，在此基礎上，將提供一些最佳化問題，以確保滿足不敏感條帶區域設計的條件，同時對閉環系統的$H_{2}$增益進行一些約束。

系統

線性系統的狀態空間表示如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$和$u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$分別是系統狀態、輸出和輸入向量。

資料

為了解決設計最佳化問題，需要線性系統矩陣A、B、C。此外，為了在特徵值空間上定義條帶區域，需要兩個引數$\gamma _{1}$和$\gamma _{2}$。

最佳化問題

設計一個$H_{2}$最優控制器，使閉環系統對某個條帶區域不敏感，涉及兩個子問題

• 找到一個控制增益$K$，使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$。
• 閉環系統的不敏感條帶區域設計條件，如不敏感條帶區域設計章節中所述，得到滿足。
• 最佳化目標是最小化$\gamma$，使得上述兩個條件成立。

LMI： $H_{2}$用於不敏感條帶區域的最優控制設計

上述問題有解當且僅當以下最佳化問題有解$(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&2\gamma _{1}I<(A+BKC)^{\top }+(A+BKC)<2\gamma _{2}I\end{aligned}}$

結論

透過使用此處提供的設計問題，設計了一個最優的$H_{2}$控制器，使閉環系統對系統矩陣中的擾動具有魯棒性。

實現

為了解決此處提出的LMI最佳化問題，需要使用YALMIP工具箱來建立可行性問題，並使用SeDuMi來求解問題。以下連結展示了一個可行性問題的示例。

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Strip_example.m

相關LMI

不敏感帶狀區域設計

外部連結

記錄和驗證LMI的一系列參考文獻。

• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 由段廣仁和於海華著，CRC出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013年，第10.1.1節，第322-323頁。