控制中的 LMI / pages / H2 帶狀區域

具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感帶狀區域設計

在設計具有不敏感區域條件的控制器時，目標是將系統的閉環極點放置在由其內邊界定義的特定區域中。這些區域根據其對系統引數矩陣擾動的敏感性來指定。

這類設計的一種是 不敏感帶狀區域設計。在本節中，在此基礎上，將提供最佳化問題，以確保滿足不敏感帶狀區域設計的條件，同時對閉環系統的 $H_{2}$ 增益進行一些限制。

系統

如下所示的線性系統的狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是系統的狀態、輸出和輸入向量。

資料

為了解決設計最佳化問題，需要線性系統矩陣 *A,B,C*。此外，為了在特徵值空間中定義帶狀區域，需要兩個引數 $\gamma _{1}$ 和 $\gamma _{2}$。

最佳化問題

設計一個產生閉環系統對特定帶狀區域不敏感的 $H_{2}$ 最優控制器的問題包含兩個子問題

• 找到一個控制增益 $K$ 使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$.
• 閉環系統的不敏感帶狀區域設計條件，如 *不敏感帶狀區域設計* 部分提供，已得到滿足。
• 最佳化目標是最小化 $\gamma$，使得上述兩個條件成立。

LMI： $H_{2}$ 針對不敏感帶區域的最優控制設計

上述問題有解當且僅當以下最佳化問題有解 $(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&2\gamma _{1}I<(A+BKC)^{\top }+(A+BKC)<2\gamma _{2}I\end{aligned}}$

結論

利用這裡給出的設計問題，設計了最優 $H_{2}$ 控制器，使閉環系統對系統矩陣中的擾動具有魯棒性。

實現

要解決這裡提出的LMI最佳化問題，需要使用YALMIP工具箱來建立可行性問題，並且需要使用SeDuMi來解決問題。以下連結展示了可行性問題的一個示例。

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Strip_example.m

相關LMI

不敏感帶區域設計

外部連結

列出了記錄和驗證LMI的參考資料。

• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 作者：段廣仁、於海華，CRC出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013年，第10.1.1節，第322-323頁。