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不敏感條帶區域設計

假設如果有人對魯棒穩定感興趣，其中閉環特徵值被放置在複平面的特定區域，而該區域具有對系統引數矩陣的擾動不敏感的內部邊界。這將藉助兩種設計問題來完成：不敏感條帶區域設計和不敏感圓盤區域設計（有關後者的連結，請參見下面的連結）。

系統

假設我們考慮以下需要控制的連續時間線性系統

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\y&=Cx\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y\in \mathbb {R} ^{m}$ ，以及 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態，輸出和輸入向量。然後，獲得不敏感條帶區域設計LMI的步驟如下所示。

在獲得LMI之前，我們需要以下矩陣： $A$ ， $B$ ，以及 $C$ 。

考慮上述線性系統以及兩個標量 $\gamma _{1}$ 和 $\gamma _{2}$ 。然後，輸出反饋控制律 $u=Ky$ 將使得 ${\gamma _{1}}<{\lambda _{i}}(A_{c}^{s})<{\gamma _{1}}$ ，其中

{\begin{aligned}{A_{c}^{s}}&\triangleq {\frac {1}{2}}{\langle {A_{c}}\rangle _{s}}={\frac {{(A+BKC)^{T}}+(A+BKC)}{2}}\\\end{aligned}}

令 $K$ 是上述問題的解，那麼

{\begin{aligned}{\gamma _{1}}&<{\alpha _{1}}\leq {Re({\lambda _{i}}(A+BKC))\leq {\alpha _{2}}<{\gamma _{2}}},&i=1,2,...,n\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\alpha _{1}}&={\lambda _{min}}({A_{c}^{s}})\\{\alpha _{2}}&={\lambda _{max}}({A_{c}^{s}})\\\end{cases}}\end{aligned}}

利用以上資訊，我們可以透過設定 $\gamma _{1}$ 為 $-\infty$ 來簡化問題，在所有實際應用中都是如此。這樣就簡化了我們的問題，並得到以下 LMI

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\text{min }}\gamma \\{\text{s.t. }}{(A+BKC)^{T}}+(A+BKC)<{\gamma }I\\\end{cases}}\end{aligned}}

如果上述 LMI 的解產生了一個負數 $\gamma$ ，則輸出反饋控制器 $K$ 是 Hurwitz 穩定的。然而，如果 $\gamma$ 是一個非常小的正數，那麼 ${\alpha _{2}}=\lambda _{max}(A_{c}^{s})$ 必須為負數才能使控制器穩定。

示例程式碼 - 一個包含程式碼 (名為 "InsensitiveStripRegion.m") 的 GitHub 連結，該程式碼演示瞭如何使用 MATLAB-YALMIP 實現該 LMI。

記錄和驗證該 LMI 的參考文獻列表。