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不敏感磁碟區域設計

與不敏感條帶區域設計問題類似，不敏感磁碟區域設計是另一種可以實現魯棒穩定性的方法，其中閉環特徵值被放置在複平面的特定區域，該區域具有一個內邊界，該邊界對系統引數矩陣的擾動不敏感。

系統

假設我們考慮以下需要控制的線性系統

${\begin{aligned}{\begin{cases}\rho x&=Ax+Bu,\\y&=Cx\\\end{cases}}\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$，$y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態、輸出和輸入向量，$\rho$ 表示微分運算元（在連續時間情況下）或一步向前移位運算元（即，$\rho x(k)=x(k+1)$）（在離散時間情況下）。然後，獲得不敏感條帶區域設計 LMI 的步驟如下所示。

資料

在獲得 LMI 之前，我們需要以下矩陣：$A$，$B$ 和 $C$。

最佳化問題

考慮上述線性系統以及 2 個正標量 $\gamma$ 和 $q$。然後輸出反饋控制律 $u=Ky$ 將被設計成滿足

${\begin{aligned}{\eta }&=||A+BKC+qI||<{\gamma }\\\end{aligned}}$

回想定義，我們有

${\begin{aligned}{\mathbb {D} _{q,\eta }}&=\{{s|s\in \mathbb {C} ,|s+q|<{\eta }}\}\\&=\{x+jy|x,y\in \mathbb {R} ,{(x+q)^{2}}+{y^{2}}<{\eta ^{2}}\}\\\end{aligned}}$

以及

${\begin{aligned}{\mathbb {D} _{q,r}}&=\{{s|s\in \mathbb {C} ,|s+q|<{\gamma }}\}\\&=\{x+jy|x,y\in \mathbb {R} ,{(x+q)^{2}}+{y^{2}}<{\gamma ^{2}}\}\\\end{aligned}}$

令 $K$ 是上述問題的解，那麼

${\begin{aligned}{\lambda _{i}}(A+BKC)&\in {\mathbb {D} _{q,\eta }}\subset {\mathbb {D} _{q,r}},&i=1,2,...,n\\\end{aligned}}$

LMI： 不敏感條帶區域設計

利用上述資訊，我們可以將給定問題轉化為LMI，使用舒爾補引理後，得到以下結果

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\text{min }}\gamma \\{\text{s.t. }}{\begin{bmatrix}-{\gamma }I&&(A+BKC+qI)\\{(A+BKC+qI)^{T}}&&-{\gamma }I\end{bmatrix}}&<0\\\end{cases}}\end{aligned}}$

結論

對於舒爾穩定化，我們可以選擇用 $q=0$ 來解決問題。當 ${\gamma }{\leq }1$ 時，可以實現舒爾穩定性。或者，如果 ${\gamma }$ 大於（但非常接近）1，那麼當 ${\eta }=||A+BKC+qI||_{2}{\leq }1$ 時，也可以實現舒爾穩定性。

實現

• 示例程式碼 - 一個GitHub連結，其中包含程式碼（名為“InsensitiveDiskRegion.m”），演示瞭如何使用MATLAB-YALMIP實現此LMI。

相關LMI

• $H_{2}$ 圓盤區域設計 - 用於最小化$H_{2}$ 增益的圓盤區域設計的 LMI
• 不敏感條帶區域設計 - 用於不敏感條帶區域設計的等效 LMI

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考資料列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• LMI 在控制系統中的應用：分析、設計和應用 - 由段廣仁和餘海華合著的書籍。