控制中的 LMI / 頁面 / H2 磁碟區域

具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感磁碟區域設計

除了針對 具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感帶狀區域 的設計之外，另一種此類設計是不敏感磁碟區域設計。在本節中，將提供最佳化問題，以確保滿足不敏感磁碟區域設計條件，同時對 $H_{2}$ 閉環系統的增益進行一定約束。

系統

如下所示的線性系統的狀態空間表示

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$、$y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是系統狀態、輸出和輸入向量。 $\rho$ 表示連續時間系統的微分運算，或離散時間情況下的單步前移運算元。

資料

要解決設計最佳化問題，需要線性系統矩陣 *A、B、C*。此外，要定義特徵值空間上的磁碟區域，還需要其半徑 $\gamma _{0}$。

最佳化問題

設計一個導致閉環系統對特定磁碟區域不敏感的 $H_{2}$ 最佳控制器的問題涉及兩個子問題

• 找到一個控制增益 $K$ 使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$.
• 閉環系統的不敏感磁碟區域設計條件如 *不敏感磁碟區域設計* 部分所述得到滿足。
• 最佳化目標是最小化 $\gamma$，使得上述兩個條件都成立。

LMI： $H_{2}$ 用於不敏感磁碟區域的最佳控制設計

上述問題只有在以下最佳化問題有解時才存在解 $(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-\gamma _{0}I&A+BKC+qI\\(A+BKC+qI)^{\top }&-\gamma _{0}I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

透過使用此處提供的設計問題，一個最佳的 $H_{2}$ 控制器被設計用於使閉環系統對系統矩陣的擾動具有魯棒性。

實現

為了解決此處提出的LMI最佳化問題，需要YALMIP工具箱來設定可行性問題，並且需要SeDuMi來解決問題。以下連結展示了可行性問題的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Disk_example.m

相關LMI

不敏感圓盤區域設計

外部連結

一個記錄和驗證LMI的參考文獻列表。

• 控制系統中的LMI：分析、設計和應用 - 由段廣仁和於海華著，CRC出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013年，第10.1.2節，第323-325頁。